辛普森法则

这是一个估算积分的方法。
常见的估算积分的方法还有矩形法则和梯形法则，这里就不做展开了。
主要的方法是通过二次函数来模拟给定的函数，因为二次函数是平滑的曲线，符合大多数函数形状。
假设你要估算 \(\displaystyle\int^r_lf(x)\text{d}x\)。
你可以将 \(l\sim r\) 这段区间平均分为 \(n\) 个小段，每段的长度 \(h = \dfrac{r - l}{n}\)，第 \(i\) 段（\(1\leq i <= n\)）的端点为 \(x_i,x_{i + 1}\)。
我们拿 \(x_1\sim x_2,x_2\sim x_3\) 这两个区间举例。

假设长这样。
那我们就把整个函数向左移一下，使得 \(x_2 = 0\)（这样积分的结果还是不会变），像这样

假设 \((-h, f(x_1)),(0,f(x_2)),(h, f(x_3))\) 这三个点在二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 上，则得到

\[\begin{cases} f(x_1) = ah^2 - bh + c\\ f(x_2) = c\\ f(x_3) = ah^2 + bh + c \end{cases} \]

解得

\[\begin{cases} a = \dfrac{f(x_1) - 2\cdot f(x_2) + f(x_3)}{2h^2} \\ c = f(x_2) \end{cases} \]

。。。其实并不需要求出 \(b\)。
我们求 \(\displaystyle\int^h_{-h}(ax^2 + bx + c)\text{d}x\)。
原式 \(=(\dfrac{ax^3}{3} + \dfrac{bx^2}{2} + cx)\bigg|^h_{-h}\)
\(=\dfrac{2ah^3}{3} + 2ch\)
\(=h(\dfrac{f(x_1) - 2f(x_2) + f(x_3)}{3} + 2f(x_2))\)
\(=\dfrac{r - l}{n}\cdot\dfrac{f(x_1) + 4f(x_2) + f(x_3)}{3}\)