一个关于cos的极限

\[\lim_{x\to 0}\dfrac{1 - \cos x}{x} = 0 \]

第一种推导方法：使用勾股定理。

\[\begin{align*} \lim_{x\to 0}\dfrac{1 - \cos x}{x} &= \lim_{x\to 0}\dfrac{1 - \cos x}{x}\cdot \dfrac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \\ &=\lim_{x\to 0}\dfrac{1 - \cos^2x}{x}\cdot \dfrac{1}{1 + \cos x} \\ &=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin^2x}{x}\cdot \dfrac{1}{1 + \cos x} \\ &=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}\cdot \sin x\cdot \dfrac{1}{1 + \cos x} \end{align*} \]

又根据 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1\)（具体看这里）。

因此原式 \(=1\times 0\times \dfrac{1}{2} = 0\)。

第二种推导方法：使用二倍角公式。

\[\begin{align*} \lim_{x\to 0}\dfrac{1 - \cos x}{x} &=\lim_{x\to 0}\dfrac{1 - (1 - 2\sin^2\dfrac{x}{2})}{x} \\ &=\lim_{x\to 0}\dfrac{2\sin^2\dfrac{x}{2}}{x} \\ &=\lim_{x\to 0}\dfrac{2}{2}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}}\cdot \sin\dfrac{x}{2} \end{align*} \]

又因为 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}} = 1\)（我们把 \(\dfrac{x}{2}\) 看成一个整体）。

所以原式 \(=1\cdot1\cdot 0 = 0\)。