一个复数可以被表示为另一个复数的平方

对于一个复数 \(a + bi\)（\(a,b\in\mathbb{R}\)），它一定能被表示成另一个复数 \(x + yi\)（\(x,y\in\mathbb{R}\)）的平方。

对于 \(b = 0\) 的时候，显然 \(a = (\sqrt{a})^2\)，这里 \(\sqrt{a}\) 不一定是实数但一定是复数。

对于 \(a = 0\) 的时候，我们知道 \((1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i\)。

所以 \(bi = (\dfrac{\sqrt{2b}}{2} + \dfrac{\sqrt{2b}}{2}i)^2\)。

对于 \(a\not= 0,b\not= 0\) 的情况，显然我们求出 \(x,y\) 就是最好的证明。

\(a + bi = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi\)。

因此

\[\begin{cases} x^2 - y^2 = a \\ 2xy = b \end{cases} \]

即

\[\begin{cases} \begin{equation*} bx^2 - by^2 = ab \tag{1} \end{equation*}\\ \begin{equation*} 2axy = ab \tag{2} \end{equation*} \end{cases} \]

\((1) - (2)\) 得，

\[bx^2 - 2axy - by^2 = 0 \]

解得

\[x = \dfrac{2ay\pm\sqrt{4ay^2 + 4b^2y^2}}{2b} = \dfrac{ay\pm |y|\sqrt{a^2 + b^2}}{b} \]

因为 \(\pm|y|\) 所构成的集合与 \(\pm y\) 所构成的集合都为 \(\{-y, y\}\)，所以我们可以暂且把 \(\pm|y|\) 看做 \(\pm y\)。
于是

\[x = \dfrac{a \pm \sqrt{a^2 + b^2}}{b}\cdot y \]

带入到 \(2xy = b\) 中，得到

\[2\cdot\dfrac{a\pm \sqrt{a^2 + b^2}}{b}\cdot y^2 = b \]

得到

\[\begin{equation*} y^2 = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{b^2}{a\pm \sqrt{a^2 + b^2}}\tag{3} \end{equation*} \]

注意到 \(a\leq \sqrt{a^2} < \sqrt{a^2 + b^2}\)，所以 \(a - \sqrt{a^2 + b^2} < 0\)。

因此 \((3)\) 式右面的 \(\pm\) 就只能是 \(+\) 了（因为 \(y^2\) 和 \(b^2\) 都是正数）。

我们把 \((3)\) 式进行分母有理化，得到

\[y^2 = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{b^2\cdot (a - \sqrt{a^2 + b^2})}{-b^2} = \dfrac{1}{2}\cdot (\sqrt{a^2 + b^2} - a) \]

得到

\[y = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{\sqrt{a^2 + b^2} - a} \]

这里我就不再带入到用 \(y\) 表示 \(x\) 的式子里了。

因此，对于 \(a + bi\)（\(a,b\in\mathbb{R}\)），它可以被表示为

\[(\dfrac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{b}\cdot k + k)^2 \]

其中 \(k = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\displaystyle\sqrt{\sqrt{a^2 + b^2} - a}\)（因为是在平方的括号里，所以 \(+\) 还是 \(-\) 都一样，就像 \((a + b)^2 = (-a - b)^2\) 一样）。