洛必达法则

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洛必达法则：若 \(f(x)\) 在 \(a\) 的某一去心邻域内可导，\(g(x)\) 在 \(a\) 的某一去心邻域内可导，且 \(f(a)= 0,g(a) = 0\) 或 \(f(a) = \infty/\!-\! \infty,g(a) = \infty/\!-\!\infty\)，且存在 \(a\) 的一个去心邻域使得这个邻域中所有的 \(x\) 都有 \(g(x)\not= 0,g'(x)\not= 0\)，并且 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在，则有：

\[\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]

当然，这个极限也可以是 \(x\to \infty\) 或 \(x\to -\infty\)。

证明：

当 \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x) = 0,\lim_{x\to a}g(x) = 0\)时，我们有

\[\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} \]

根据柯西中值定理，如果 \(x > a\)（\(x < a\) 也差不多），则存在一点 \(c\in(a, x)\)，使得

\[\dfrac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \dfrac{f'(c)}{g'(c)} \]

又因为当 \(x\to a\) 时， \(c\to a\) （因为 \(c\) 被夹在 \(x\) 和 \(a\) 中间）。

所以

\[\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{c\to a}\dfrac{f'(c)}{g'(c)} \]

又因为 \(c\) 是依赖于 \(x\) 的一个中间变量 ，他们都趋向于 \(a\)， 所以 \(c\) 可以替换为 \(x\) 。

所以

\[\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]

当 \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x) = 0,\lim_{x\to \infty}g(x) = 0\) 时（\(-\infty\) 差不多），可以令 \(t = \dfrac{1}{x}\)，原命题左边的就是 \(\displaystyle\lim_{t\to 0^+}\dfrac{f(\dfrac{1}{t})}{g(\dfrac{1}{t})}\)。

然后我们令 \(F(t) = f(\dfrac{1}{t}),G(t) = g(\dfrac{1}{t})\)。

那么根据之前的结论，我们有 \(\displaystyle\lim_{t\to 0^+}\dfrac{F(t)}{G(t)} = \lim_{t\to 0^+}\dfrac{F'(t)}{G'(t)}\)。
然后，我们使用链式求导法则，得到 \(\displaystyle\lim_{t\to 0^+}\dfrac{F'(t)}{G'(t)} = \lim_{t\to 0^+}\dfrac{f'(\dfrac{1}{t})\cdot(-\dfrac{1}{t^2})}{g'(\dfrac{1}{t})\cdot(-\dfrac{1}{t^2})} = \lim_{t\to 0^+}\dfrac{f'(\dfrac{1}{t})}{g'(\dfrac{1}{t})}\)。
最后我们再用 \(x\) 换一下 \(\dfrac{1}{t}\)，得到 \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to \infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)。
当 \(f(a) = \infty,g(a) = \infty\) 时（\(-\infty\) 差不多），我们就令 \(F(x) = \dfrac{1}{f(x)},G(x) = \dfrac{1}{g(x)}\)。
则有 \(\displaystyle\lim_{x\to a}F(x) = \lim_{x\to a}G(x) = 0\)。
根据之前已经证明的结论，有 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{G(x)}{F(x)} = \lim_{x\to a}\dfrac{G'(x)}{F'(x)} = \lim_{x\to a}\dfrac{-\dfrac{1}{g(x)^2}\cdot g'(x)}{-\dfrac{1}{f(x)^2}\cdot f'(x)} = \lim_{x\to a}(\dfrac{g'(x)}{f'(x)}\cdot(\dfrac{f(x)}{g(x)})^2)\)。
我们再令 \(L = \displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{G(x)}{F(x)} = \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}\)，则有 \(L = \displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{g'(x)}{f'(x)}\cdot L^2\)。
整理一下，可得 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)。
当 \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x) = \infty,\lim_{x\to \infty}g(x) = \infty\)（或者有一个是 \(-\infty\)，又或者两个都是 \(-\infty\) 的情况差不多）的情况，大家自己证吧，我这里就不做展开了。