2024年11月30日
格初步（一）
摘要： 基本概念 定义1 (LATTICE) 给定 \(n\) 个线性无关向量 \(b_1, b_2, \ldots, b_n \in \mathbb{R}^m(n \leq m)\) ，由它们产生的格被定义为， \[\mathcal{L}\left(b_1, b_2, \ldots, b_n\right) 阅读全文
posted @ 2024-11-30 01:31 沙棘数学社 阅读(151) 评论(0) 推荐(1)
3.2 Hash 函数
摘要： 主要参考：冯克勤《有限域上的代数曲线:理论和通信应用》 在此之前我们已经介绍了纠错码，我们把原始信息编成更长的码字后进行传输，目的是用来纠正信息传输过程中信道产生的错误，这是信息处理的一种方式。事实上，还有不少其他的目的需要对原始信息加以处理, 比如在大数据时代, 为了降低数据的存贮量, 我们需要把 阅读全文
posted @ 2024-11-30 01:29 沙棘数学社 阅读(81) 评论(0) 推荐(0)
3.3 局部修复码
摘要： 局部修复码 设 \(C\) 是 \(\mathrm{F}_q\) 上参数为 \((n, K, d)\) 的纠错码, 则它有纠正 \(\left[\frac{d-1}{2}\right]\) 位错误的能力. 也就是说, 若码字 \(c=\left(c_1, \cdots, c_n\right) \in 阅读全文
posted @ 2024-11-30 01:27 沙棘数学社 阅读(161) 评论(0) 推荐(0)
2024年11月26日
3.1.1 代数几何码及渐进界改进
摘要： 在本节中，我们将编码理论与代数几何的知识结合起来，描述 Goppa 对代数几何编码（Algebraic Geometry Codes, AG Codes）的构造。为了避免混淆，在本章中，字母\(C\)将专用于表示编码，而字母\(X\)将用于表示曲线。此外，我们始终在有限域\(\mathbb{F}_q 阅读全文
posted @ 2024-11-26 20:11 沙棘数学社 阅读(381) 评论(0) 推荐(0)
2024年11月25日
ElGamal 公钥密码系统
摘要： ElGamal 公钥密码系统的加密与解密过程 虽然 Diffie–Hellman 密钥交换算法提供了一种公开共享随机密钥的方法，但它并未完全实现公钥密码系统的目标。公钥密码系统应能够实现特定信息的交换，而不仅仅是随机比特串的共享。 历史上，第一个公钥密码系统是 1978 年由 Rivest、Sham 阅读全文
posted @ 2024-11-25 19:25 沙棘数学社 阅读(577) 评论(0) 推荐(1)
公钥加密系统与离散对数问题(Diffie-Hellman密钥交换)
摘要： 概念 1 单向函数和陷门信息 单向函数是一种可逆函数，其正向计算容易，但反向计算却非常困难。 安全的公钥加密系统（Public Key Cryptosystem, 简称PKC）基于具有陷门的单向函数。陷门是一种辅助信息，利用它可以轻松计算单向函数的反函数。 “陷门”一词来源于物理或机械陷阱的概念：单 阅读全文
posted @ 2024-11-25 19:25 沙棘数学社 阅读(149) 评论(0) 推荐(0)
2024年11月22日
素性检验
摘要： 素性检验 Bob 已经完成了 \(\mathrm{RSA}\) 公钥系统的学习，并准备使用他的所学与 Alice 进行通信。但他真的准备好了吗？为了生成 \(\mathrm{RSA}\) 密钥对，Bob 需要选择两个非常大的素数 $ p $ 和 $ q $。但在大尺度上，合数比素数多得多，这不是一个 阅读全文
posted @ 2024-11-22 15:12 沙棘数学社 阅读(42) 评论(0) 推荐(0)
2024年7月8日
2.8 循环码的根，BCH码
摘要： 现在介绍循环码的又一种刻画方式。 定义 1 设 \(C\) 是以 \(g(x)\) 为生成式的 \(q\) 元循环码, 则 \(g(x)\) (在 \(\mathrm{F}_q\) 的扩域中)的根也叫作循环码 \(C\) 的根。 以下设 \(C\) 的码长 \(n\) 与 \(q\) 互素。这时, 阅读全文
posted @ 2024-07-08 16:58 沙棘数学社 阅读(87) 评论(0) 推荐(0)
0.2 有限域上的多项式环
摘要： 我们在本节研究有限域上多项式的一些性质。 所有系数属于 \(\mathrm{F}_q\) 的单变量多项式 \[f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \quad\left(a_i \in \mathrm{F}_q\right) \]全体组成的集合记 阅读全文
posted @ 2024-07-08 16:26 沙棘数学社 阅读(285) 评论(0) 推荐(0)
0.1 有限域
摘要： 定理 1 有限域的元素个数必为 \(q=p^m\), 其中 \(p\) 是素数, \(m\) 为正整数. 证明：特征一定是素数，作为素域的有限扩域，可看成素子域上的有限维线性空间。\(\square\) 定理 2 \(~q=p^m\) 元有限域 \(F\) 的非零元素全体形成的乘法群 \(F^{\t 阅读全文
posted @ 2024-07-08 11:40 沙棘数学社 阅读(306) 评论(0) 推荐(0)