格初步（二）

最短向量

格的一个基本参数是格中最短非零向量的长度（我们必须要求一个非零向量，因为零向量总是包含在格中，且它的范数是零）.此参数由 \(\lambda_1\) 表示.长度，我们指的是欧几里德范数，或 \(\ell_2\) 范数，定义为 \(\|x\|_2=\sqrt{\Sigma x_i^2}\).为了方便，我们通常用 \(\|x\|\) 简单地表示这个范数.偶尔会考虑其他范数，如 \(\ell_1\) 范数 \(\|x\|_1=\Sigma\left|x_i\right|\) 或 \(\ell_{\infty}\) 范数 \(\left|\left|x \|_{\infty}=\max \right| x_i\right|\) .

定义 \(\lambda_1\) 的等效方法如下：使得半径为 \(r\) 的球内的格点向量张成的空间是一维子空间的最小值 \(r\).这个定义导致了 \(\lambda_1\) 的以下推广，称为逐次最小长度 (successive minima) .

定义 1 逐次最小长度

设 \(\Lambda\) 为秩 \(n\) 的格。对于 \(i \in 1, \ldots, n\) ，我们定义了第 \(i\) 个逐次最小长度为，

\[\lambda_i(\Lambda)=\inf \{r \mid \operatorname{dim}(\operatorname{span}(\Lambda \cap \bar{B}(0, r))) \geq i\} \]

其中 \(\bar{B}(0, r)=\{x \in R^m \mid\|x\| \leq r\}\) 是半径为 \(r\) 位于原点的闭球 .

定理 2 (施密特正交化可以得到最短向量的下界)

假设 \(B\) 是秩 \(n\) 格的基， \(\tilde{B}\) 是 \(B\) 的施密特正交化，可以得到

\[\lambda_1(\mathcal{L}(B)) \geq \min \left\|\tilde{b}_i\right\|>0, \text { where } i=1,2, \ldots, n \]

证明: 设 \(x \in \mathbb{Z}^{n \times 1}\) 是任意的非零整数向量，让我们证明 \(\|B x\| \geq \min \left\|\tilde{b}_i\right\|\) .不妨设 $j
\in {1,2,······,n} _s.t. x_j \neq 0 $ 且 \(\forall k > j\) ，都有 \(x_k=0\),\(\left|\left\langle B x, \tilde{b}_j\right\rangle\right|=\left|\left\langle\Sigma_{i=1}^j x_i b_i, \tilde{b}_j\right\rangle\right|=\left|x_j\right|\left\langle b_j, \tilde{b}_j\right\rangle=\left|x_j\right| || \tilde{b}_j||^2\).（\(\tilde{b}_i\) 是 \(b_i\) 与 \(\tilde{b}_1, \tilde{b}_2, \ldots, \tilde{b}_{i-1}\) 正交的分量部分）

其中，\(\forall i<n ，\left\langle b_i, \tilde{b}_n\right\rangle=0,\left\langle b_j, \tilde{b}_j\right\rangle=\left\langle\tilde{b}_j, \tilde{b}_j\right\rangle\).另一方面， \(\left|\left\langle B x, \tilde{b}_j\right\rangle\right| \leq\|B x\| \cdot\left\|\tilde{b}_j\right\|\) ，因此我们得出结论 \(\|B x\| \geq\left|x_j\right|\left\| \tilde{b}_j\right\| \geq\left\| \tilde{b}_j\right\| \geq \min \left\|\tilde{b}_i\right\|\).\(\square\)

根据定理 \(2\)，我们也可以得到格的离散性质：假设 \(\Lambda\) 为一个格，存在 \(\varepsilon>0\) ，对于任意两个非等格点 \(x, y \in \Lambda\) 使得 \(\|x-y\|>\varepsilon\).

思索一下 \(2\) 维的施密特正交化过程可以很好的获得这个定理的直观感受.

最短向量的上界

方便起见，只讨论满格，很容易推广到非满秩的格。

定理 3 (BLICHFELDT定理)

对于任何满格 \(\Lambda \subseteq \mathbb{R}^n\) 和集合 \(S \subseteq \mathbb{R}^n(\operatorname{vol}(S)>\operatorname{det}(\Lambda))\)存在两个不等点 \(z_1, z_2 \in S, z_1-z_2 \in \Lambda\).

证明：取 \(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\) 为格 \(\Lambda\) 的一组基.\(P=P\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)\) 是上面定义的平行多面体(基础区域)，则 \(\{h+P \mid h \in \Lambda\}\) 是一些两两非交的集合，它们的并集为 \(\mathbb{R}^n\) .从而 \(\{S \cap(h+P) \mid h \in \Lambda\}\) 也是一些两两非交的集合，并且它们的并集为 \(S\). 因此

\[\mu(S)=\sum_{h \in \Lambda} \mu(S \cap(h+P))=\sum_{h \in \Lambda} \mu((-h+S) \cap P) . \]

如果对于 \(\Lambda\) 中任意两个不同的元素 \(h\) 和 \(h^{\prime},(-h+S) \cap P\) 与 \(\left(-h^{\prime}+S\right) \cap P\) 均是非交的，则

\[\mu(S)=\sum_{h \in \Lambda} \mu((-h+S) \cap P) \leqslant \mu(P)=\operatorname{det}(\Lambda) \]

这就与假设 \(\operatorname{vol}(S)>\operatorname{det}(\Lambda)\) 相矛盾, 所以存在 \(h, h^{\prime} \in H, h \neq h^{\prime}\),使得 \((-h+S) \cap P\) 与 \(\left(-h^{\prime}+S\right) \cap P\) 有公共元素 \(x\) ，即 $x=-h+s=-h^{\prime}+s, s, s^{\prime} \in S $,而 \(0 \neq h-h^{\prime}=s-s^{\prime} \in \Lambda\).\(\square\)

定理 4 (闵可夫斯基凸体定理)

设 \(\Lambda\) 为秩 \(n\) 的全秩格(满格)。对于任何中心对称凸集 \(S\) ，如果 \(\operatorname{vol}(S)>2^n \operatorname{det}(\Lambda)\) 则 \(S\) 包含一个非零格点。

证明: 定义 \(\hat{S}=\frac{1}{2} S=\{x \mid 2 x \in S\}\) ，则 \(\operatorname{vol}(\hat{S})=2^{-n} \operatorname{vol}(S)>\operatorname{det}(\Lambda)\) 。由定理 \(3\) 可得，存在两个点 \(z_1,z_2 \in \hat{S}\) 使得 \(z_1- z_2 \in \Lambda\) 是一个非零格点。由于 \(z_1, z_2 \in \frac{1}{2} S\) ，因此 \(2 z_1, 2 z_2 \in S\) ，又因为 \(S\) 是中心对称的，所以 \(-2 z_2 \in S\) 。由上可得，由于 \(S\) 为凸集，所以 \(\frac{2 z_1-2 z_2}{2}=z_1-z_2\) 也在 \(S\) 中，得证。

推论 5 (最短向量的上界)(闵可夫斯基第一定理)

对于秩为 \(n\) 的任何全秩格 \(\Lambda\),则有 \(\lambda_1(\Lambda) \leq \sqrt{n}(\operatorname{det} \Lambda)^{\frac{1}{n}}\)

证明：设格 \(\Lambda\) 的一组基为 \(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\), 设 \(\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right] \in \mathbb{R}^{n \times n}\),记向量 \(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\) 生成的线性空间为 \(\operatorname{span}\left(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right)\), 即

\[\operatorname{span}\left(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right)=\left\{\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n\right\} \]

设 \(S=\mathcal{B}\left(O, \sqrt{n} \operatorname{det}(\Lambda)^{\frac{1}{n}}\right) \cap \operatorname{span}\left(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right)\) 是 \(\operatorname{span}\left(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right)\) 中以原点为中心，以 \(\sqrt{n} \operatorname{det}(\Lambda)^{\frac{1}{n}}\) 为半径的开球，注意到 \(S\) 的体积严格大于 \(2^n \operatorname{det}(\Lambda)\) ，因为 \(S\) 中包含一个 \(n\) 维的边长为 \(2 \operatorname{det}(\Lambda)^{\frac{1}{n}}\) 的超立方体，故由定理 \(4\) 存在一个非零向量 \(\boldsymbol{v} \in S \cap \Lambda\) ，使得 \(\|\boldsymbol{v}\|<\sqrt{n} \operatorname{det}(\Lambda)^{\frac{1}{n}}\) 。

因此，格 \(L\) 中最短向量的长度 \(\lambda_1\) 满足

\[\lambda_1 \leqslant\|\boldsymbol{v}\|<\sqrt{n} \operatorname{det}(L)^{\frac{1}{n}} \]

\(\square\)

\(n\) 维球的体积 \(V_n=\frac{\pi^{n / 2}}{\Gamma(n / 2+1)} r^n\),如果我们偏执的要去证明不等式 \(\frac{(n\pi)^{n / 2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}>2^n\)，严格证明起来可能有点繁琐，不过利用伽玛函数的斯特林近似 \(\Gamma(z+1) \approx z^z e^{-z} \sqrt{2 \pi z}(z\rightarrow +\infty)\) 可以看出数量级的差别 .

需要注意的是，我们使用的球体积上界较为宽松。若采用更精确的\(n\)维球体积公式，可以得到略紧的界：\(\lambda_1(\Lambda) \leq \sqrt{n /(2 \pi e)} \cdot \operatorname{det}({\Lambda})^{1 / n}\) 该界仅比推论 \(5\) 中的界优一个常数因子.

此外，闵可夫斯基界在某些情况下可能非常宽松。例如，考虑由基向量 \(\left(2^{100}, 0\right)\) 和 \(\left(0,2^{-100}\right)\) 生成的单位行列式二维格 \(\Lambda\subset \mathbb{R}^2\).此时 \(\lambda_1(\Lambda)=2^{-100} \ll \sqrt{2}\).然而，一般而言，闵可夫斯基界的常数 \(\sqrt{n}\) 的数量级无法再进一步改进 —— 存在无穷族 \(n\) 维单位行列式的格 \(\mathcal{L}\)，满足 \(\lambda_1(\mathcal{L}) \geq C \sqrt{n}\)，其中 \(C \approx \sqrt{1 /(\pi e)}\) 为某个正的常数 .