3.1.1 代数几何码及渐进界改进

在本节中，我们将编码理论与代数几何的知识结合起来，描述 Goppa 对代数几何编码（Algebraic Geometry Codes, AG Codes）的构造。为了避免混淆，在本章中，字母\(C\)将专用于表示编码，而字母\(X\)将用于表示曲线。此外，我们始终在有限域\(\mathbb{F}_q\)上工作，因此符号\(k\)可以明确地表示一个正整数（即编码的维数），这一点与前面关于编码理论的章节一致。

回忆 Reed-Solomon 编码 的定义：我们令\(L_{k-1}\)表示所有次数不超过\(k-1\)的多项式（包括零多项式）组成的集合，即

\[L_{k-1} = \{ f \in \mathbb{F}_q[x] \mid \deg f \leq k-1 \} \cup \{ 0 \}. \]

则\(L_{k-1}\)是一个维数为\(k\)的\(\mathbb{F}_q\)-向量空间。设有限域\(\mathbb{F}_q^{\times}\)（即去掉 0 之后的有限域元素）由\(q-1\)个元素\(\alpha_1, \dots, \alpha_{q-1}\)组成，则 Reed-Solomon 编码\(RS(k, q)\)定义为

\[RS(k, q) := \left\{ \left(f\left(\alpha_1\right), \ldots, f\left(\alpha_{q-1}\right)\right) \mid f \in L_{k-1} \right\}. \]

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回忆射影平面的定义：

\[\mathbb{P}^2\left(\mathbb{F}_q\right) = \left(\mathbb{F}_q^3 \backslash \{(0,0,0)\} \right) / \sim \]

其中，若存在某个\(\alpha \in \mathbb{F}_q^{\times}\)使得

\[(X_1, Y_1, Z_1) = (\alpha X_0, \alpha Y_0, \alpha Z_0), \]

则称\((X_0, Y_0, Z_0) \sim (X_1, Y_1, Z_1)\)。

类似的，我们有

定义 1 射影直线

射影直线\(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\)定义为

\[\left(\mathbb{F}_q^2 \backslash \{(0,0)\} \right) / \sim \]

其中，若存在某个\(\alpha \in \mathbb{F}_q^{\times}\)使得

\[(X_1, Y_1) = (\alpha X_0, \alpha Y_0), \]

则称\((X_0, Y_0) \sim (X_1, Y_1)\)。

记点\((X_0, Y_0)\)的等价类为\((X_0: Y_0)\)，则有

\[\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q) = \{(\alpha: 1) \mid \alpha \in \mathbb{F}_q\} \cup \{(1: 0)\}. \]

我们可以将\(\mathbb{P}^1\)视为射影平面\(\mathbb{P}^2\)中由方程\(Z=0\)定义的直线。它是一个亏格（genus）为 0 的曲线。

练习 2

记\(P_{\infty}\)为点\((1:0)\)，并设\(D = (k-1) P_{\infty}\)。证明\(L(D) = L_{k-1}\)，其中我们将次数为\(d\)的多项式\(f(x) \in \mathbb{F}_q[x]\)通过齐次化表示为\(Y^d f(X / Y) \in \mathbb{F}_q[X, Y]\)。（利用黎曼罗赫定理）

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如果设\(P_i = (\alpha_i:1)\)（使用上述\(\mathbb{F}_q^{\times}\)元素的编号方式），那么\(\mathrm{Reed-Solomon}\)编码可以等价地描述为

\[RS(k, q) = \left\{ \left(f(P_1), \ldots, f(P_{n}) \right) \mid f \in L\left((k-1) P_{\infty}\right) \right\}.(n\leq q-1) \]

这也是为什么很多教材里\(\mathrm{Reed-Solomon}\)码不把\(f(0)\)添进去，由练习\(2\)可知做这种推广时是要进行除法运算的。

Goppa 的想法是对这一构造进行推广。设\(X\)是定义在\(\mathbb{F}_q\)上的射影的、非奇异的平面曲线，并设\(D\)是\(X\)上的一个除子。取

\[\mathcal{P} = \{P_1, \dots, P_n\} \subset X(\mathbb{F}_q) \]

为\(X\)上由\(n\)个不同的\(\mathbb{F}_q\)-有理点构成的集合。如果假设\(\mathcal{P} \cap \operatorname{supp} D = \emptyset\)，则对于任意\(f \in L(D)\)和任意\(P_i \in \mathcal{P}\)，由于\(P_i\)不是\(f\)的极点，因此有\(f(P_i) \in \mathbb{F}_q\)。

定义 3 代数几何码

设\(X\)、\(\mathcal{P}\)和\(D\)如上所述，则代数几何码（algebraic geometric code）由它们确定，定义为

\[C(X, \mathcal{P}, D) := \left\{ \left(f(P_1), \dots, f(P_n) \right) \mid f \in L(D) \right\} \subset \mathbb{F}_q^n. \]

换句话说，代数几何编码\(C(X, \mathcal{P}, D)\)是赋值映射（evaluation map）的像，定义如下：

\[\begin{aligned} \epsilon: L(D) & \to \mathbb{F}_q^n \\ f & \mapsto \left(f(P_1), \dots, f(P_n)\right). \end{aligned} \]

由于\(L(D)\)是\(\mathbb{F}_q\)上的向量空间，且赋值映射\(\epsilon\)是线性变换，因此\(C(X, \mathcal{P}, D)\)是一个线性编码。此外，其码长显然为\(n = \# \mathcal{P}\)。

那么维数是多少呢？显然，维数最多为\(\dim L(D)\)，而它恰好等于\(\dim L(D)\)当且仅当\(\epsilon\)是单射。这等价于赋值映射\(\epsilon\)的核只有零函数。

假设\(\epsilon(f) = 0\)，即

\[f(P_1) = \cdots = f(P_n) = 0. \]

这意味着\(f\)的零点至少包括所有\(P_i\)，即\(\operatorname{div}(f)\)在每个\(P_i\)处的系数至少为\(1\)。由于\(P_i \notin \operatorname{supp} D\)，我们有

\[\operatorname{div}(f) + D - P_1 - \cdots - P_n \geq 0, \]

即\(f \in L(D - P_1 - \cdots - P_n)\)。

如果我们进一步假设\(\deg D < n\)，则\(D - P_1 - \cdots - P_n\)的次数为负，则其对应的有理函数空间为\(\{0\}\)，即\(f = 0\)。因此，

\[\dim C = \dim L(D). \]

事实上，我们可以得到如下定理：

定理 4 代数几何码参数

设\(X\)是定义在有限域\(\mathbb{F}_q\)上的射影的、非奇异的平面曲线，其亏格（genus）为\(g\)。设\(\mathcal{P} \subset X(\mathbb{F}_q)\)为\(X\)上\(n\)个不同的\(\mathbb{F}_q\)-有理点构成的集合，并设\(D\)为满足

\[2g - 2 < \deg D < n \]

的除子。则代数几何编码\(C := C(X, \mathcal{P}, D)\)是线性编码，其码长为\(n\)，维数为

\[k := \deg D + 1 - g, \]

最小距离\(d\)满足

\[d \geq n - \deg D. \]

证明： 我们已经证明了\(C\)是线性编码，其码长为\(n\)，并且由于\(\deg D < n\)，其维数为\(\dim L(D)\)。由黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）可知，当\(\deg D > 2g - 2\)时，有

\[\dim L(D) = \deg D + 1 - g. \]

这证明了维数公式。

接下来我们推导最小距离\(d\)的下界，使用的方法与计算\(k\)时类似。设

\[\epsilon(f) = \left(f(P_1), \dots, f(P_n)\right) \in C \]

是汉明重量（Hamming weight）最小的非零码字，其重量为\(d\)。这意味着恰有\(d\)个坐标非零。我们不失一般性地假设

\[f(P_{d+1}) = \cdots = f(P_n) = 0. \]

同样地，这意味着

\[\operatorname{div}(f) + D - P_{d+1} - \cdots - P_n \]

是一个有效除子（effective divisor）。于是除子

\[D - P_{d+1} - \cdots - P_n \]

的次数必须是非负的，即

\[\deg D - (n - d) \geq 0. \]

由此推出

\[d \geq n - \deg D, \]

从而完成证明。\(\square\)

容易知道，若想机械式的根据一条曲线和一个除子算出他们对应的代数几何码，最关键最难的步骤是把\(L(D)\)里面是哪些有理函数算清楚。

设\(C = C(X, \mathcal{P}, D)\)为一个代数几何编码，并设\(f_1, f_2, \dots, f_k\)为\(L(D)\)作为\(\mathbb{F}_q\)上的向量空间的一组基。根据定理的条件，我们知道

\[\dim C = k, \]

因此，向量

\[\epsilon(f_1), \epsilon(f_2), \dots, \epsilon(f_k) \]

构成\(C\)的一组基。这意味着矩阵

\[\begin{bmatrix} f_1(P_1) & f_1(P_2) & \dots & f_1(P_n) \\ f_2(P_1) & f_2(P_2) & \dots & f_2(P_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_k(P_1) & f_k(P_2) & \dots & f_k(P_n) \end{bmatrix} \]

是\(C\)的生成矩阵。

练习 5

设\(E\)是定义在有限域\(\mathbb{F}_2\)上的射影平面曲线，其方程为

\[Y^2Z + YZ^2 = X^3 + XZ^2 + Z^3. \]

设

\[\mathcal{P} = E(\mathbb{F}_8) \setminus \{ P_{\infty} \}, \]

并设\(C\)为定义在\(\mathbb{F}_8\)上的代数几何编码

\[C = C(E, \mathcal{P}, 5 P_{\infty}). \]

回答以下问题：

\((1)\)理论结果对\(C\)的码参数给出了什么结论？
\((2)\)求出\(C\)的一个生成矩阵。
\((3)\)确定\(C\)的确切码参数。

事实上，曲线\(E\)在\(\mathbb{F}_8\)上的所有点（包括无穷远点）为：

\[\begin{aligned} & {[0: 1: 0],} \\ & {[\alpha: 0: 1],[\alpha: 1: 1],} \\ & {\left[\alpha^2: 0: 1\right],\left[\alpha^2: 1: 1\right],} \\ & {\left[\alpha^3: \alpha: 1\right],\left[\alpha^3: \alpha^3+1: 1\right],} \\ & {\left[\alpha^4: 0: 1\right],\left[\alpha^4: 1: 1\right],} \\ & {\left[\alpha^5: \alpha^4: 1\right],\left[\alpha^5: \alpha^5: 1\right],} \\ & {\left[\alpha^6: \alpha^2: 1\right],\left[\alpha^6: \alpha^6: 1\right]} \end{aligned} \]

其中\(\alpha\)是\(\mathbb{F}_8\)的生成元，满足\(\alpha^3=\alpha+1\)。

可能疑惑\(X=0,Z=0\)的解应当不止一个，但是在\(\mathbb{F}_8\)中因为有限域的存在唯一性定理，任何一个其他形式的\(\mathbb{F}_8\)都可以嵌入（实际上是同构）到这个\(\mathbb{F}_8\)里，但是可以发现\(\mathbb{F}_4\)并不能嵌入到\(\mathbb{F}_8\)里。所以在\(\mathbb{F}_8\)上不存在三次不可约多项式，但是存在二次不可约多项式。

我们还有一个刻画有限域嵌入关系的命题：有限域\(\mathbb{F}_{p^m}\)是有限域\(\mathbb{F}_{p^n}\)的子域当且仅当\(m|n\).

我们指出，关于最小距离的不等式的下界与\(Singleton\)上界非常相似。将这两个界结合起来可以得到，当\(\deg D < n\)时，

\[n + 1 - g \leq k + d \leq n + 1. \]

注意，当\(F\)是一个亏格\(g = 0\)的函数域时，\(k + d = n + 1\)。因此，通过有理函数域\(\mathbb{F}_q(X)\)构造的\(AG\)码总是\(MDS\)码。

为了使定理\(4\)得出的\(C_X(\mathcal{P},D)\)最小距离下界有意义，通常假设\(\deg D < n\)。

定义 6 设计距离

整数\(d^* := n - \deg D\)被称为码\(C_L(\mathcal{P},D)\)的设计距离。

定理\(4\)表明，\(AG\)码的最小距离\(d\)不小于其设计距离\(d^*\)。关于是否\(d^* = d\)或\(d^* < d\)的问题，我们有一个一般性的结论。

定理 7:(\(d^* = d\)的判定)

假设\(\ell(G) > 0\)且\(d^* = n - \deg G > 0\)。当且仅当存在一个除子\(D'\)，满足\(0 \leq D' \leq D\)、\(\deg D' = \deg G\)且\(\ell(G - D') > 0\)，则\(d^* = d\)。

证明：我们首先假设\(d^* = d\)。则存在一个\(0 \neq x \in L(G)\)，使得对应的码字\((x(P_1), \ldots, x(P_n)) \in C_L(D,G)\)恰好有\(n - d = n - d^* = \deg G\)个分量为零。记这些零点为\(x(P_{i_j}) = 0\)，其中\(j = 1, \ldots, \deg G\)。令

\[D' := \sum_{j=1}^{\deg G} P_{i_j}. \]

于是\(0 \leq D' \leq D\),\(\deg D' = \deg G\)，且\(\ell(G - D') > 0\)（因为\(x \in L(G - D')\)）。

反之，若\(D'\)满足上述性质，则选取一个\(0 \neq y \in L(G - D')\)。对应的码字\((y(P_1), \ldots, y(P_n))\)的重量\(\leq n - \deg G = d^*\)，又由定理\(2\)可知\(d = d^*\)。\(\square\)

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既然我们已经理解了 Goppa 对代数几何编码的构造，现在来研究 Tsfasman、Vladut 和 Zink 的结果。回顾一下，Goppa 在 1977 年提出该构造后不久，Tsfasman、Vladut 和 Zink于 1982 年证明了存在一列代数几何编码，其参数优于渐进 Gilbert-Varshamov 界所能保证的参数。

我们首先研究代数几何编码的渐进参数。设

\[C = C(X, \mathcal{P}, D) \]

是一个代数几何编码，其中：

• \(X\) 是定义在 \(\mathbb{F}_q\) 上的亏格（genus）为 \(g\) 的代数曲线，
• \(\mathcal{P}\) 是 \(X\) 上的 $ \mathbb{F}_q $-有理点集，且 \(\#\mathcal{P} = n\)，
• \(D\) 是 \(X\) 上的一个除子，满足 \(2g-2 < \operatorname{deg} D < n\)。

定理\(4\)告诉我们，\(C\) 是一个线性编码，其长度为 \(n\)，维数为 \(k\)，最小距离满足

\[d \geq n - \operatorname{deg} D. \]

因此，\(C\) 的信息率 $ R $ 为

\[R = \frac{k}{n} = \frac{\operatorname{deg} D + 1 - g}{n}, \]

而其相对最小距离 $ \delta $ 满足

\[\delta = \frac{d}{n} \geq \frac{n - \operatorname{deg} D}{n}. \]

在设计编码时，我们希望信息率 $ R $ 和相对最小距离 $ \delta $ 都尽可能大，但这两者存在权衡关系。一种思考方式是希望 $ R + \delta $ 取得较大的值。在我们的情形下，有\(R+\delta \geq \frac{\operatorname{deg} D+1-g}{n}+\frac{n-\operatorname{deg} D}{n}=\frac{n+1-g}{n}=1+1 / n-g / n\).

对于长编码，我们考虑当 $ n $ 趋向无穷时的极限情况。这意味着我们研究一列长度递增的代数几何编码。为了构造这些编码，我们需要一列亏格 $ g_i $ 的代数曲线 $ X_i $、在 $ X_i $ 上选取的 $ n_i $ 个有理点，以及在 $ X_i $ 上选定的除子 $ D_i $。这样，我们得到

\[\lim _{n \rightarrow \infty}(R+\delta) \geq 1-\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{g_i}{n_i}. \]

由于我们希望 $ R + \delta $ 尽可能大，因此我们希望

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{g}{n} \]

尽可能小，换句话说，我们希望

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{g} \]

尽可能大。注意到对于亏格为 $ g $ 的曲线 $ X \(，参数\)n$受限于其上有理点的个数

\[n \leq \# X\left(\mathbb{F}_q\right), \]

这促使我们引入以下定义：

定义 8\(N_q(g)\)

设 $ q $ 是一个素数幂，则对于任意非负整数 $ g $，定义

\[N_q(g) := \max \left\{\# X\left(\mathbb{F}_q\right) \mid X \text{ 是定义在 } \mathbb{F}_q \text{ 上的亏格 } g \text{ 的曲线} \right\} \]

以及

\[A(q) := \limsup _{g \rightarrow \infty} \frac{N_q(g)}{g}. \]

假设我们有一列定义在 $ \mathbb{F}_q $ 上的曲线 $ X_i $，满足

\[\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{N_i}{g_i} = A(q), \]

其中 $ g_i $ 是曲线 $ X_i $ 的亏格，\(N_i = \# X_i\left(\mathbb{F}_q\right)\) 。对于每个 $ i $，选择 $ Q_i \in X_i\left(\mathbb{F}_q\right) $，并设

\[\mathcal{P}_i = X_i\left(\mathbb{F}_q\right) \backslash \{Q_i\}. \]

同时选择正整数 $ r_i $，使得

\[2 g_i - 2 < r_i < N_i - 1 = \# \mathcal{P}_i. \]

则代数几何编码 $ C_i = C\left(X_i, \mathcal{P}_i, r_i Q_i\right) $ 的长度为 $ N_i - 1 $，维数为 $ r_i + 1 - g_i $，最小距离至少为 $ N_i - 1 - r_i $。如果 $ R_i $ 是 $ C_i $ 的信息率，$ \delta_i $ 是 $ C_i $ 的相对最小距离，那么我们有

\[R_i + \delta_i \geq 1 + \frac{1}{N_i - 1} - \frac{g_i}{N_i - 1}. \]

设

\[R := \lim_{i \to \infty} R_i, \quad \delta := \lim_{i \to \infty} \delta_i, \]

那么我们有

\[R + \delta \geq 1 - \frac{1}{A(q)}. \]

因此，回顾定义

\[\alpha_q(\delta) := \limsup _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log_q A_q(n, \delta n), \]

我们已经证明了

\[\alpha_q(\delta) \geq -\delta + 1 - \frac{1}{A(q)}. \]

由于方程 $ R = -\delta + 1 - \frac{1}{A(q)} $ 定义了一条负斜率的直线，它将与 Gilbert-Varshamov 曲线（即 $ R = 1 - H_q(\delta) $ 的图形）在\(0,1,2\)个点相交。如果它在两个点相交，那么我们就得到了在这两个点之间对 Gilbert-Varshamov 界限的改进。

现在的问题是，\(A(q)\)的值是多少？非渐近的问题是：一条亏格为 $ g $ 的曲线最多能有多少个有理点？如果我们将自己限制在平面曲线范围内，那么有理点的数量显然是有界的，最大值为 \(\# \mathbb{P}^2\left(\mathbb{F}_q\right) = q^2 + q + 1\)。然而，并不是每条曲线都是平面曲线，去除这一限制后，我们可以得到具有更多有理点的曲线。在这个更一般的设定中，该领域的一个基本结果是：

定理 8 (Hasse-Weil)

设\(X\)是定义在有限域\(\mathbb{F}_q\)上的亏格为\(g\)的非奇异射影曲线，令\(N = \# X(\mathbb{F}_q)\)。则有

\[|N - (q+1)| \leq 2g \sqrt{q} \]

具有恰好\(q+1+2g\sqrt{q}\)个有理点的曲线称为最大曲线。显然，最大曲线只能存在于元素个数为完全平方数的域上，如果\(q\)不是完全平方数，我们当然可以将上述不等式右侧的\(2g\sqrt{q}\)替换为\(\lfloor 2g\sqrt{q} \rfloor\)。不过经过一些努力，我们可以做得更好：

定理 9 (Serre)

在定理\(8\)的情况下，有

\[|N - (q+1)| \leq g \lfloor 2 \sqrt{q} \rfloor \]

遗憾的是，定理\(9\)的改进仍不足以保证满足该界限的曲线总是存在。事实上，可以证明，当 $ g > \frac{q - \sqrt{q}}{2} $ 时，定理\(9\)的界限无法达到。对于大亏格的曲线，确实存在更好的界限，但这些界限都比较复杂。

最后，我们回到关于 $ A(q) $ 值的渐近问题。关于 $ A(q) $ 有如下上界：

定理 10（Drinfeld-Vladut）

对于任何素数幂 $ q $，我们有 $ A(q) \leq \sqrt{q} - 1 $。

另一方面，以下结果是 Tsfasman、Vladut 和 Zink 在 $ m = 1 $ 和 $ m = 2 $ 的情况，Ihara 在一般情况下得到的：

定理 11

设 $ q = p^{2m} $ 是素数 $ p $ 的偶次方。则存在一系列曲线 $ X_i $，这些曲线定义在 $ \mathbb{F}_q $ 上，具有亏格 $ g_i $ 和 $ N_i $ 个有理点，使得

\[\lim_{i \to \infty} \frac{N_i}{g_i} = \sqrt{q} - 1 \]

曲线 $ X_i $ 是模曲线，对它们的研究超出了一般性科普的范围。然而，综合所有结果，我们得出当 $ q $ 是完全平方数时，$ A(q) = \sqrt{q} - 1 $，从而得出以下定理：

定理 12（Tsfasman-Vladut-Zink 界限）

设 $ q $ 是完全平方数。则

\[\alpha_q(\delta) \geq -\delta + 1 - \frac{1}{\sqrt{q} - 1} \]

通过一些计算不难看出，"Tsfasman-Vladut-Zink 直线" $ R = -\delta + 1 - \frac{1}{\sqrt{q} - 1} $ 和 "Gilbert-Varshamov 曲线" $ R = 1 - H_q(\delta) $ 会在 $ q \geq 49 $ 时恰好在两个点相交。因此，对于所有完全平方数 $ q \geq 49 $，Tsfasman-Vladut-Zink 界限为 $ \mathbb{F}_q $ 上的编码渐近参数提供了比 Gilbert-Varshamov 界限更好的改进。