0.2 有限域上的多项式环

我们在本节研究有限域上多项式的一些性质。

所有系数属于 \(\mathrm{F}_q\) 的单变量多项式

\[f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \quad\left(a_i \in \mathrm{F}_q\right) \]

全体组成的集合记为 \(\mathrm{F}_q[x]\), 它对于自然定义的加法和乘法是一个交换环, 并且是整环 (即若 \(f(x) g(x)=0\), 则 \(f(x)=0\) 或者 \(g(x)=0\) ), \(\mathrm{F}_q[x]\) 叫作 \(\mathrm{F}_q\) 上 (关于 \(x\) 的)多项式环, 如果 \(n \geqslant 0, a_n \neq 0, f(x)\) 叫作 \(n\) 次多项式, \(f(x)\) 的次数表示成 \(\operatorname{deg}(f)(=n)\) 。零次多项式为 \(f(x) \equiv a_0\), 其中 \(a_0\) 是 \(\mathrm{F}_q\) 中非零元素, 而恒为零的多项式 \(f(x) \equiv 0\), 规定次数为 \(-\infty\) 。

在抽象代数中我们对任意域 \(F\), 给出多项式环 \(F[x]\) 的下列性质, 所以对 \(\mathrm{F}_q[x]\) 也成立。
\((1)\) 整环 \(\mathrm{F}_q[x]\) 的单位群 (即乘法可逆元素组成的乘法群)为 \(\mathrm{F}_q^{\times}\)。换句话说, \(\mathrm{F}_q[x]\) 中多项式 \(f(x)\) 可逆 (即 \(f(x)^{-1} \in \mathrm{F}_q[x]\)) 当且仅当 \(f(x) \equiv a \quad\left(a \in \mathrm{F}_q^{\times}\right) 。\)
\((2)\) \(\mathrm{F}_q[x]\) 是主理想整环, 即每个理想 \(A\) 都是主理想:

\[A=(f(x))=\left\{f(x) g(x) \mid g(x) \in \mathrm{F}_q[x]\right\} 。 \]

当 \(A=(0)\) 时, \(f(x)=0\), 而当 \(A \neq(0)\) 时, \(f(x)\) 是非零多项式, 并且 \((f(x))=\) \((g(x))\) 当且仅当 \(f(x)=c g(x)\), 其中 \(c \in \mathrm{F}_q^{\times}\)。所以有惟一的首 \(1\) 多项式 \(f(x)\) (即最高次项系数为 \(1\)), 使得 \(A=(f(x))\) 。并且: \(A\) 是素理想当且仅当 \(f(x)\) 是 \(\mathrm{F}_q[x]\) 中的不可约多项式。 \(\mathrm{F}_q[x]\) 中的非零素理想都是极大理想。

\((3)\) \(\mathrm{F}_q[x]\) 是惟一分解整环, 即 \(: \mathrm{F}_q[x]\) 中每个次数 \(\geqslant 1\) 的多项式 \(f(x)\) 都惟一地分解成

\[f(x)=c p_1(x) p_2(x) \cdots p_g(x), \]

其中 \(c \in \mathrm{F}_q^{\times}, p_1(x), \cdots, p_g(x)\) 是 \(\mathrm{F}_q(x)\) 中首 \(1\) 不可约多项式。

现在研究不可约多项式的性质。与通常实数域或复数域上的多项式相对比,下面一些结果可看到有限域上多项式有不少特别的性质。

定理 1 设 \(f(x)\) 是 \(\mathrm{F}_q[x]\) 中 \(n\) 次不可约多项式 \((n \geqslant 1), f(x) \neq x\) 。 \(\alpha\) 为 \(f(x)\) 在 \(\mathrm{F}_q\) 的代数闭包中的一个根, 则
\((1)\) \(f(x)\) 有 \(n\) 个不同的根, 它们是 \(\alpha, \alpha^q, \alpha^{q^2}, \cdots, \alpha^{q^{n-1}}\) 。并且 \(n\) 是满足 \(\alpha^{q^n}=\alpha\) 的最小正整数。
\((2)\) \(\alpha^{q^i}(0 \leqslant i \leqslant n-1)\) 有相同的乘法阶 \(l, l \mid q^n-1\), 并且 \(n\) 也是满足 \(q^n \equiv 1(\bmod l)\) 的最小正整数。
\((3)\) \(x^{q^n}-x\) 是 \(\mathrm{F}_q[x]\) 中所有次数除尽 \(n\) 的首 1 不可约多项式的乘积。
\((4)\) \(\mathrm{F}_q[x]\) 中 \(n\) 次首 \(1\) 不可约多项式的个数为

\[N_q(n)=\frac{1}{n} \sum_{d \mid n} \mu(d) q^{n / d}, \]

其中, \(\mu(n)\) 是初等数论中的莫比乌斯函数, 定义为

\[\mu(n)= \begin{cases}1, & \text { 若 } n=1, \\ (-1)^l, & \text { 若 } n \text { 是 } l \text { 个不同素数之乘积, } \\ 0, & \text { 否则。 }\end{cases} \]

证明：
\((1)\) 和 \((2)\): 先证 \(\mathbf{F}_q[x]\) 中不可约多项式 \(f(x)\) 没有重根(有些材料里称具有这种性质的域为完全域，即其上的多项式都是可分的), 设 \(f(x)=\) \(\sum_{i=0}^n a_i x^i\left(a_i \in \mathrm{F}_q, a_n \neq 0\right)\), 则 \(f(x)\) 的形式微商为 \(f^{\prime}(x) \in \sum_{i=0}^n i a_i x^{i-1} \in \mathrm{F}_q[x]\) 。我们知道, \(f(x)\) 没有重根当且仅当 \(\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=1\) 。由 \(f^{\prime}(x)\) 的次数小于 \(n\), 而 \(f(x)\) 是 \(n\) 次不可约, 可知当 \(\left(f(x), f^{\prime}(x)\right) \neq 0\) 时, 必然 \(f^{\prime}(x) \equiv 0\), 即 \(i a_i=0 \in\) \(\mathrm{F}_q(0 \leqslant i \leqslant n)\) 。设 \(\mathrm{F}_q\) 的特征为素数 \(p\), 则当 \(p\nmid i\) 时必然 \(a_i=0\) 。所以 \(f(x)\) 有形式 \(f(x)=\sum_{i=0}^t a_{i p} x^{i p}=\left(\sum_{i=0}^t a_{i p} x^i\right)^p\), 这与 \(f(x)\) 不可约相矛盾, 于是证明了 \(\mathrm{F}_q[x]\) 中不可约多项式没有重根。
设 \(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\) 是 \(f(x)\) 的 \(n\) 个(不同的)根, \(\alpha=\alpha_1\), 则 \(\mathrm{F}_q\left[\alpha_i\right]=\mathrm{F}_{q^n}(1 \leqslant i \leqslant n)\) 。于是

\[a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_n x+a_0=f(x)=a_n\left(x-\alpha_1\right)(x-\alpha_2) \cdots\left(x-\alpha_n\right), \]

其中 \(x-\alpha_i \in \mathrm{F}_{q^n}[x](1 \leqslant i \leqslant n)\) 。将 \(\mathrm{F}_{q^n}\) 的 \(\mathrm{F}_q\)-自同构 \(\tau\left(\tau(\gamma)=\gamma^q\right)\) 同时作用于上式两边的系数可知

\[f(x)=a_n\left(x-\alpha_1^q\right)\left(x-\alpha_2^q\right) \cdots\left(x-\alpha_n^q\right) 。 \]

所以若 \(\alpha\) 为 \(f(x)\) 的根, 则 \(\alpha^q\) 也是 \(f(x)\) 的根, 于是 \(\alpha^{q^i}(i=0,1,2 \cdots)\) 均是 \(f(x)\) 的根。
由于 \(f(x) \neq x\), 可知 \(f(x)\) 的根均不为零, 于是 \(\alpha\) 为 \(\mathrm{F}_{q^n}^{\times}\) 中元素, 并且 \(\alpha\) 的乘法阶 \(l\) 为 \(q^n-1\) 为因子, 这表明 \(\alpha^{q^n-1}=1\), 即 \(\alpha^{q^n}=\alpha\) 。我们现在证明 \(\alpha^{q^i}(0 \leqslant i \leqslant n-1)\) 彼此不同。假如 \(\alpha^{q^i}=\alpha^{q^j} \quad(0 \leqslant i<j \leqslant n-1)\), 则 \(1=\alpha^{q^j-q^i}=\) \(\alpha^{\left(q^{j-i}-1\right) q^i}\), 从而 \(\alpha^{q^{j-i}-1}=\alpha^{\left(q^{j-i}-1\right) q^n}=\alpha^{\left(q^{j-i}-1\right) q^i q^{n-i}}=1\) 。即 \(\alpha^{q^{j-i}}=\alpha\) 。这表明 \(\alpha \in\) \(\mathrm{F}_{q^{j-i}}\) 而 \(1 \leqslant j-i \leqslant n-1\) 。这与 \(\mathrm{F}_q[\alpha]=\mathrm{F}_{q^n}\) 相矛盾。这就证明了 : 若 \(\alpha\) 是 \(\mathrm{F}_q[x]\) 中 \(n\) 次不可约多项式 \(f(x)\) 的一个根, 则 \(f(x)\) 有 \(n\) 个不同的根, 它们是 \(\alpha^{q^i}(0 \leqslant i \leqslant\) \(n-1)\) 。\((1)\) 和 \((2)\) 的其他论断由上面证明中可以看出(自同构保持乘法阶；如果 \(l | q^{n-1}-1\) 那么这些根全都会落到 \(F_{q^{n-1}}\) 里，矛盾)。