Pizixsir Math

摘要： 用移位循环的方式构作码我们已经见过很多次(例如例$1.2.6$、定理$2.4.1$等等),这让我们感到需要对这类码进行系统的研究。本节我们介绍循环码的一种看待方式————视作商环$R=\mathrm{F}_q[x] /\left(x^n-1\right)$的元素,并且把集合$\mathrm{F}_q 阅读全文

摘要： 本章介绍一类二元线性码, 它是由里德 $(Reed)$ 和米勒$(Muller)$ 于 $1954$ 年独立给出的,今后简记为 $\mathrm{RM}$ 码. 这种二元线性码的构造需要布尔函数的一些知识. 定义 1 设 \(m\) 为正整数. 一个 \(m\) 元布尔函数 \(f=f\left(x 阅读全文

摘要： 本章用有限域上的多项式来构造一批好的线性码, 它们都是 $MDS$ 码, 即达到 $Singleton$ 界 $n=k+d-1$. 我们假设读者比较熟悉关于多项式的一些记号和部分简单的结论。重要的结论我们会再次提及。 引理 1(带余除法) 设 \(f(x), g(x) \in F_p[x], g(x 阅读全文

摘要： 现在介绍戈莱于 1949 年发现的两个完全线性码, 后人称作戈莱码. 一个 \(p\) 元完全码的最小距离 \(d\) 一定是奇数 \(2 l+1\) (\(1.3\) 节习题 \(6\))并且达到汉明界,即 \[p^{n-k}=\sum_{i=0}^l(p-1)^i\binom{n}{i}, \] 阅读全文

摘要： 定义 1 设 \(\boldsymbol{a}=\left(a_1, \cdots, a_n\right)\) 和 \(\boldsymbol{b}=\) \(\left(b_1, \cdots, b_n\right)\) 是 \(F_p^n\) 中的向量. \(\boldsymbol{a}\) 和 阅读全文

摘要： 本节的目标是给出一系列线性完全码, 叫做汉明码 $(Hamming~code)$. 首先,我们有两类平凡的完全线性码： \((1)\) \(q\) 元线性码 \([n, n, 1]\), 即 \(C=\mathrm{F}_q^n\) 。易知这是完全码。 \((2)\) 对于 \(n=2 l+1, q 阅读全文

摘要： 定义 1 一个码长为 \(n\) 的 \(p\) 元码 \(C\) 叫做线性码, 是指 \(C\) 是向量空间 \(F_p^n\) 的向量子空间,即 \(C\) 满足如下的性质: 对于 \(F_p\) 中任意元素 \(\alpha\)和 \(\beta\), 如果 \(\boldsymbol{c}_ 阅读全文

摘要： 本节给出纠错码基本参数之间的一些相互制约的不等式关系. 定理 1 (汉明界) 如果存在 \(p\) 元纠错码, 参数为 \((n, K, d)\), 则 \[p^n \geqslant K \sum_{i=0}^{\left[\frac{d-1}{2}\right]}(p-1)^i\binom{n} 阅读全文

摘要： 通过 1.1 节对纠错进行的直观描述, 现在给出纠错码的确切数学定义. 设 $F_p$ 是 $p$ 元有限域. 所有元素属于 $F_p$ 的长为 $n$ 的向量 $\boldsymbol{v}=\left(v_1, \cdots, v_n\right)\left(v_i \in F_p\right) 阅读全文

摘要： 纠错码介绍 引入 现代人们在生活中的通信方式是多种多样的,如打电话、传送电子邮件以及宇宙飞船将金星图片传回地球等. 虽然它们的形式不同,但是它们的数学模型可以表示成以下最简单的形式: \[\boxed{发方}\overset{x}{\rightarrow}\overset{信道}{\cdots\cd 阅读全文