SG 函数学习笔记（好像还没写完）

SG 函数用于解决公平组合游戏问题。下面游戏默认为公平组合游戏。

对于一个游戏，我们可以记为其所有后继状态的集合 \(G\)。所有必败游戏的集合为 \(P\)，必胜游戏集合为 \(N\)。

特别地，单堆 Nim 游戏记为 \(* n=\{* m: m<n\}=\{*0,*1,\dots,*(n-1)\}\)。其中 \(n\in\mathbb{N}\)。

两个游戏的和定义为：

\[G+H=\{g+H,g\in G\}\cup\{G+h,h\in H\} \]

即 \(G+H\) 相当于两个互不干扰的游戏，两个玩家每次可以选择一个游戏走一步，都不能操作时结束游戏。Nim 游戏就是多个单堆 Nim 游戏的和。

单堆 Nim 游戏只有 \(n=0\) 时先手必败，但是两个单堆 Nim 游戏 \(* n + * n'\) 先手必败的条件是 \(n = n'\)。

如果一个游戏是多个游戏的和，那么这个游戏的胜负就可以看作这多个游戏和的胜负。

我们定义两个游戏 \(G_1, G_2\) 等价，当且仅当对于所有游戏 \(H\)，\(G_1+H\) 和 \(G_2+H\) 要么都必胜，要么都必败。记为 \(G_1\approx G_2\)，这个关系确实是全体公平组合游戏上的等价关系。

引理 1：\(A, B \in P \Rightarrow A + B \in P\)。证明显然。

引理 2：对于游戏 \(G\) 和任何必败游戏 \(A\)，有 \(G\approx G+A\)。

[!info]- 证明
只要证 \(\forall H\)，\(G + H\) 和 \(G + H + A\) 同时必胜或必败。那么由于引理 1，若 \(G+H \in P\)，显然成立，否则先手走一步 \(G+H\) 得到 \((G+H)'\)，然后 \((G+H)'+A\in P\)，后手必败，先手必胜。

引理 3：\(G\approx G' \iff G+G'\in P\)。

[!info]- 证明
\(G \approx G'\) 得到 \(G + G'\) 和 \(G'+G'\) 同时必胜或必败，而 \(G'+G'\in P\)，因为先手在一边怎么操作后手就在另一边同样操作，最后先手先无法操作。所以 \(G+G'\in P\)。\(G+G'\in P\) 则由引理 2 得到 \(G\approx G+(G+G')\approx (G+G)+G'\approx G'\)。

定理：

\[\forall G,\exists n\in\mathbb{N},G\approx * n \]

翻译过来就是所有游戏都等价于一个单堆 Nim 游戏。

[!info]- 证明
考虑归纳，设 \(G = \{G_1, G_2, \dots, G_k\}\)，根据归纳假设，存在 \(n_1, n_2,\dots, n_k\)，使得 \(G_i \approx * n_i\)。

下面我们证明 \(G'=\{* n_1, * n_2, \dots, * n_k\}\approx *m\)，其中 \(m=\text{mex}(n_1, n_2, \dots, n_k)\)：
根据引理 3，只要证明 \(G'+* m\in P\)，不妨设 \(G'\neq * 0\)。若先手选择 \(*n_i\in*m\)，则后手可以选择 \(*n_i\in G'\)，\(* n_i+*n_i\in P\)，先手必败。若先手选择 \(* n_i \in G',*n_i<m\)，同样地后手可以选择 \(* n_i \in * m\)，先手必败。最后如果先手选择 \(* n_i \in G', n_i > m\)，则后手选择 \(* m\in * n_i\)，\(* m+*m\in P\)，先手必败。证毕。

然后我们证明 \(G\approx G'\)。根据引理 3 只要证 \(G+G'\in P\)。不妨设 \(G' \neq*0\)。若先手选择 \(G_i\) 则后手可以选择 \(* n_i\)，若先手选择 \(* n_i\) 则后手可以选择 \(G_i\)，最后局面即 \(G_i + * n_i \in P\)，先手必败。证毕。

于是我们可以为每个游戏 \(G\) 分配一个自然数 \(n\)，使得 \(G\approx *n\)。这称为 \(G\) 对应的 Nimber 数。将 \(G\) 映射到 \(n\) 的函数称为 SG 函数。

根据上面的证明，我们有 \(SG(x) = \text{mex}(sg(y)\mid y\in x)\)。

\(SG(x) = 0\) 的状态为必败态，\(SG(x) \neq 0\) 的状态为必胜态。这是显然的。

我们有定理：

\[SG(G_1+G_2+\cdots+G_n)=SG(G_1)\oplus SG(G2)\oplus\cdots\oplus SG(G_n) \]

[!info]- 证明
\(*a_1+*a_2+\dots+*a_n\) 就是 \(n\) 堆石子的 Nim 游戏，由 Nim 游戏的结论知

\[*a_1+*a_2+\dots+*a_n+*(a_1\oplus a_2 \oplus\cdots\oplus a_n)\in P \]

所以

\[*a_1+*a_2+\dots+*a_n\approx *(a_1\oplus a_2 \oplus\cdots\oplus a_n) \]

所以有

\[SG(*a_1+*a_2+\dots+*a_n)=a_1\oplus a_2 \oplus\cdots\oplus a_n \]

令 \(SG(G_i) = a_i\)，则

\[SG(G_1+G_2+\cdots+G_n)=SG(*a_1+*a_2+\cdots+*a_n)=a_1\oplus a_2 \oplus\cdots\oplus a_n = SG(G_1)\oplus SG(G2)\oplus\cdots\oplus SG(G_n) \]

这个定理可以让我们快速地递归计算 SG 函数值。