Fresh Cartridges 解题报告

容易发现题意等价于选出两个集合 \(A,B\) 使得 \(A\cap B=\varnothing\)，\(A,B\) 分别线性无关，求 \(\max(|A|+|B|)\)。下面默认 \(v_i\) 是列向量。

考虑对于每个 \(i\) 随机两个数 \(a_i,b_i\)，令

\[V=\begin{pmatrix}v_1,v_2,\dots\end{pmatrix},u_i=\begin{pmatrix}a_iv_i\\ b_iv_i\end{pmatrix},U=\begin{pmatrix}u_1,u_2,\dots\end{pmatrix} \]

下面我们声称极大概率有 \(\text{rank}(U)\) 就是答案。

首先选出 \(u\) 的下标集合 \(T\)，我们声称 \(T\) 中元素线性无关等价于 \(T\) 可以划分为 \(A\sqcup B\)，使得 \(\{v_i\mid i\in A\},\{v_i\mid i\in B\}\) 都线性无关。

首先若 \(T\) 可以划分为 \(A\sqcup B\)，使 \(\{v_i\mid i\in A\},\{v_i\mid i\in B\}\) 线性无关，设 \(|A|=x,|B|=y\)，那么由于 \(A\) 中的 \(v_i\) 线性无关，可以选出一个大小为 \(x\) 的行下标集合 \(R_A\)，然后取 \(V\) 中属于 \(R_A\) 的行，属于 \(A\) 的列形成一个矩阵 \(T_A\)，则这个矩阵的 \(\text{rank}\) 为 \(x\)，\(\det\) 不为 \(0\)。同理可以选出一个 \(R_B\) 和 \(B\) 构成一个矩阵 \(T_B\)，这个矩阵的 \(\det\) 也不是 \(0\)。现在，在 \(U\) 中选择 \(\{i\mid i\in R_A\lor i-n\in R_B\}\) 这些行，即上半部分取 \(R_A\) 对应的行，下半部分取 \(R_B\) 对应的行，列取所有 \(T\) 对应的向量得到一个矩阵 \(M\)，那么 \(\det M\) 中有一项 \(\pm\det T_A\det T_B\prod\limits_{i\in A}a_i\prod\limits_{i\in B}b_i\)。由于 \(\det T_A,\det T_B\ne0\)，形式上，如果把 \(\det M\) 看成所有 \(a_i,b_i\) 的单项式，那么这一项不会被抵消，\(\det M\ne0\)，所以 \(T\) 中元素线性无关。

另一边的证明也是同理，所以 \(\text{rank}(U)=\max(|A|+|B|)\)。如果不成立，说明存在 \(\det M\) 代表的多项式变成了 \(0\)。设答案为 \(K\)，则 \(\text{rank}\) 在形式意义下为 \(K\)，所以任何 \((K+1)\times(K+1)\) 的子式的行列式都是零。于是始终有 \(\text{rank}\le K\)。

然而实际情况下 \(a,b\) 都是变量，不能看成多项式，而根据 Schwartz–Zippel 引理，设一个多项式 \(f(x_1,x_2,\dots,x_s)\) 非零且次数 \(\le d\)，那么当 \(x_i\) 在大小为 \(N\) 的集合中随机时，\(f(x_1,x_2,\dots,x_s)\) 变为 \(0\) 的概率不超过 \(\frac dN\)。这是因为，可以把 \(f\) 看成关于 \(x_s\) 的多项式 \(g_0(x_1,x_2,\dots,x_{s-1})+g_1(x_1,x_2,\dots,x_{s-1})x_s+g_2(x_1,x_2,\dots,x_{s-1})x_s^2+\dots+g_t(x_1,x_2,\dots,x_{s-1})x_s^t\)，那么 \(\deg g_t\le d-t\)，根据归纳假设，\(g_t=0\) 的概率为 \(\frac{d-t}N\)，所以 \(g_t=0\) 且 \(f=0\) 的概率不超过 \(\frac{d-t}N\)，\(g_t\ne 0\) 时可以看成一个关于 \(x_s\) 的一元 \(t\) 次多项式，根据代数基本定理，至多有 \(t\) 个根，所以 \(f=0\) 的概率为 \(\frac{d-t}N+\frac tN=\frac dN\)。

在本题中，单次错误率不超过 \(\frac {2n}p=3.005\times10^{-7}\)。由于用了同一组 \(a,b\)，所以错误率不超过 \(q\frac{2n}p=0.09\)，尝试两次就基本不会出问题了。

于是现在问题转化为求一个区间的 \(u_i\) 的 \(\text{rank}\)，区间线性基，前缀线性基之类的做一下就好了，时间复杂度 \(\mathcal{O}(T(mn^2+nq))\)，其中 \(T\) 为尝试次数。可以用树状数组优化到 \(\mathcal{O}(T(mn^2+q\log m))\)。

总结：为什么想到这样的随机化？这里一个比较高妙的转化是，对于每个 \(i\in A\) 变为 \(\begin{pmatrix}v_i\\ 0\end{pmatrix}\)，\(i\in B\) 变为 \(\begin{pmatrix}0\\ v_i\end{pmatrix}\)，那么 \(A,B\) 线性无关等价于整体线性无关。然而由于不知道 \(i\) 属于 \(A\) 还是 \(B\)，那么这个时候我们构造一个向量 \(u_i\)，使得在判断行列式展开时，由于每一列用一次，会自动判断放在 \(A\) 还是 \(B\)，于是多项式意义下是正确的。甚至推广到划分为 \(k\) 个集合也是一样的做法。