保序回归学习笔记

定义

保序回归是指，给定偏序关系 \(\preceq\) 和代价函数 \(\phi_i(x_i)\)，求 \(\min\sum\limits_i\phi_i(x_i)\)，其中 \(i\preceq j\rightarrow x_i\le x_j\)。直观理解就是修改 \(a\) 使得 \(a\) 满足对于一些点对有序，使得修改的代价函数最小。

下文讨论一维保序回归，即 \(1\preceq2\preceq\dots\preceq n\)，且要求 \(\phi_i(x_i)\) 是凸函数。当 \(\phi_i(x_i)=|a_i-x_i|\) 时称为 \(L_1\) 保序回归，当 \(\phi_i(x_i)=(a_i-x_i)^2\) 时称为 \(L_2\) 保序回归。\(L_\infty\) 为 \(\min\max|a_i-x_i|\)，这个可以二分答案后贪心解决。

Slope Trick

Slope Trick 可以解决 \(L_1\) 保序回归问题，具体见洛谷 P4331。

PAVA 算法

考虑对于一个连续块 \(B=[l,r]\)，取一个最小的值 \(m(B)\) 使得 \(F_B(x)=\sum\limits_{i=l}^r\phi_i(m(B))\) 最小，如 \(L_1\) 保序回归就取下中位数，\(L_2\) 保序回归就取平均数。一开始每个点单独成块，从左到右维护每个块，如果相邻块满足 \(m(B_i)>m(B_{i+1})\) 则合并这两个块然后继续向左合并知道 \(m(B_i)\) 不降。合并次数为 \(\mathcal{O}(n)\)，复杂度为 \(n\) 乘上合并依次重新计算 \(m(B)\) 的复杂度。

下面说明这个算法的正确性：先证明一个引理：对于两个凸函数 \(F(x),G(y)\)，设二者的最小最优点分别为 \(p,q\)，若 \(p>q\)，我们说明 \(\min\limits_{x\le y}F(x)+G(y)\) 存在最优解满足 \(x=y\)。考虑若现在存在一个最优解 \(x<y\)，若 \(x<p\)，根据 \(F(x)\) 的凸性让 \(x\) 变为 \(\min(p,y)\) 不劣，若仍然不满足 \(x=y\) 则 \(q<p<y\)，那么 \(y\) 移到 \(p\) 即可。若 \(x\ge p\)，则 \(y>x\ge p>q\)，直接把 \(y\) 移到 \(x\) 即可。所以一定存在 \(x=y\) 的最优解。

有了这个引理，设每个块最后选的值为 \(z_1\le\dots\le z_k\)，那么若当前存在两个相邻块满足 \(m(B_i)>m(B_{i+1})\)，则根据引理令 \(z_i=z_{i+1}\) 不劣，所以可以直接合并两个块而不失最优性。

有上下界限制

对于有上下界的情况，即要求 \(x_i\in[L_i,R_i]\)，那么先对 \(L,R\) 进行前/后缀 \(\max/\min\) 使得 \(L,R\) 不降，然后令 \(\phi_i(x)\) 在 \(x\notin[L_i,R_i]\) 时为 \(0\) 即可，那么只需要正常做，求 \(m(B)\) 的时候如果求得的值在 \([L_i,R_i]\) 外就缩到界里面即可。

例题

P8879

考虑配方成 \(L_2\) 的形式，\(b(b-a)=(b-\frac a2)^2-\frac{a^2}4\)，然后套保序回归的模版即可，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。

P7294

配方之后是一个 \(L_2\) 保序回归问题，考虑按 \(y\) 排序动态维护块。相比常规的保序回归，现在额外要求每个值在 \([1,x]\) 之间，那么先不考虑这个限制，加上这个限制后有一个 \(<1\) 的前缀会变成 \(1\)，\(>x\) 的后缀会变成 \(x\)，中间不变，这个是容易维护的，还有需要取整数的问题，因为是凸的所以取最近的就行。时间复杂度 \(\mathcal{O}(m\log m)\)。