Slope Trick 学习笔记

介绍

Slope Trick 常用于维护连续的分段一次凸函数。

维护拐点

该方法常用于求解最小化若干绝对值之和的问题，因为这类问题价值函数的斜率的绝对值不大，可以维护斜率变化时的拐点 \(p_{-n}\le\dots\le p_{-1}\le p_0\le p_1\le\dots\le p_n\)，其中 \(p_i\) 表示斜率从 \(i\) 变为 \(i+1\) 的位置，如果 \(i\) 一次变化到了 \(i+k\) 则 \(p_i=p_{i+1}=\dots=p_{i+k-1}\)。

即维护大致形如

\[f(x)=\min f + \sum\limits_{p_{-n},\dots,p_{-1}}\max(a-x,0)+\sum\limits_{p_{1},\dots,p_{n}}\max(x-b,0) \]

的凸函数。

[BalticOI 2004] Sequence (Day1)

先令 \(a_i\gets a_i-i,b_i\gets b_i-i\) 把严格递增改为非降。

设 \(f_i(x)\) 表示考虑前 \(i\) 个数，\(b_i\le x\) 的最小答案，那么有

\[f_i(x)=\min\limits_{y\le x}f_{i-1}(y)+|a_i-y| \]

把 \(f_i\) 看成一个分段一次函数，显然 \(f_i\) 是凸的，所求即 \(\min f_n(x)\)。对于转移，相当于先加上 \(|a_i-x|\) 再取前缀 \(\min\)，加上 \(|a_i-x|\) 相当于将 \(a_i\) 之前的斜率 \(-1\)，之后的斜率 \(+1\)，所以在 \(p\) 中插入两个 \(a_i\)。然后前缀 \(\min\)，相当于把斜率为正的删除，那么相当于把每次插入两个 \(a_i\) 然后将 \(p\) 中最大的删去，即删去现在的 \(p_0\)（一个 \(a_i\) 或原来的 \(p_0\)），可以用堆维护。最小值可以在 \([p_{-1}, p_0]\) 之间的 \(f\) 取到，那么取出堆顶时堆顶一定同时是原函数和新函数的最小值点，直接将答案加上 \(p_1-a_i\) 即可，构造方案的话，确定 \(d_n\) 使得 \(f_n\) 取到最小值之后倒序更新，只要构造让 \(f_{i-1}(d_i)\) 取到最小值的方案，即取 \(i-1\) 时的 \(p_0\) 和 \(p_0\) 和 \(d_{i}\) 的 \(\min\) 即可。时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。

总结一下流程就是，转移的时候先加入拐点，然后用拐点计算最小值，再去掉斜率 \(>0\) 的部分。

这也是 L1 保序回归问题的一种解法。

[NOISG 2018 Finals] Safety

令 \(f_i(x)\) 为考虑到前 \(i\) 个数，\(b_i=x\) 的答案，有

\[f_i(x)=|a_i-x|+\min\limits_{|y-x|\le h}f_{i-1}(y) \]

相当于：先把 \(f_{i-1}(x)\) 变为其和 \(0_{[-h,h]}(x)\) 的 \((\min,+)\) 卷积，即所有负斜率段向左移动 \(h\)，正斜率段向右移动 \(h\)。然后再插入两次 \(a_i\)。

用两个堆分别维护 \(p_{<0}\) 和 \(p_{\ge0}\)，分别往两个堆插入 \(a_i\) 然后检查堆顶是否可以交换即可，道理同上面那题。懒标记维护平移，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。

维护斜率

其实就是维护差分。

CF865D

写出转移之后，由于 \(f(x)\) 是凸的，差分数组只会插入两个位置并弹出一个，堆维护即可，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。