qoj13456 Yet Another Permutation Problem 解题报告

首先考虑排列 \(p\) 至少需要操作多少次。倒着来，每次可以把开头或结尾插入到任意位置，求至少需要多少次才能变成 \([1,2,\dots,n]\)。

设操作了 \(k\) 次后变为 \([1,2,\dots,n]\)，那么最多用到 \(k\) 个数，剩下 \(n-k\) 个数一定是连续且递增的，记 \(l\) 为 \(p\) 最长递增的连续子段，容易通过 \(k\le n-l\) 和 \(k\ge n-l\) 说明最少操作次数为 \(n-l\)。于是需要对于每个 \(k\)，计数 \(l\ge n-k\) 的方案数。下面令 \(d= n-k\)。

先取补集，转化为 \(l<d\) 的方案数，把排列划分为若干极长段，对于长度为 \(t\) 的段，设置一个权值 \([t<d]\)，那么答案就是

\[\sum\limits_{p}\prod\limits_{t\text{为极长的连续段长度}}[t<d] \]

现在的难点是难以处理极长，我们考虑对于任意一个长度 \(x\) 设计一个权值 \(c_x\)，然后将极长段 \(t\) 的权值设计为 \(\sum\limits_{t=l_1+l_2+\dots+l_m,l_i\ge1}\prod c_{l_i}=[t<d]\)，那么此时设 \(g_t=[t<k]\)，\(G(x),C(x)\) 分别为 \(g,c\) 的 OGF，则由 \(g_t=\sum\limits_{i=1}^t g_{t-i}c_i\)，有 \(G(x)=1+G(x)C(x)\)，而 \(G(x)=\frac{1-x^d}{1-x}\)，故

\[C(x)=\frac{x-x^d}{1-x^d}=x+x^{d+1}+x^{2d+1}+\dots-x^{d}-x^{2d}-x^{3d}-\dots \]

即

\[c_x=\begin{cases}1&x\equiv1\pmod d\\-1&x\equiv0\pmod d\\0&\text{otherwise}.\end{cases} \]

对于一个划分 \(l_1+l_2+\dots+l_m=n\)，权值为 \(\prod c_{l_i}\)，贡献为权值再乘上每一段都递增的排列数，这样就把极长给去掉了。

而对于一种划分，方案数显然为 \(\binom{n}{l_1,l_2,\dots,l_m}\)，于是考虑 \(c_i\) 的 EGF \(\hat C(x)\)，所求即

\[[\frac{x^n}{n!}]\frac{1}{1-\hat C(x)} \]

直接多项式求逆即可做到 \(\mathcal{O}(n^3\log n)\)。

而 \(\hat C(x)\) 中非零的项只有 \(\mathcal{O}(\frac nd)\) 个，所以递推算出 \(A(x)=\frac1{1-\hat C(x)}\) 的系数只需要 \(\mathcal{O}(\frac{n^2}d)\)，于是总复杂度 \(\mathcal{O}(n^2\log n)\)。