竞赛图的常见性质/P3561 题解

竞赛图性质题。记 \(d_u\) 表示点 \(u\) 的入度。

考虑竞赛图的性质：

1. 缩点后的 DAG 是链状的，且拓扑序小的 SCC 向拓扑序大的连边。
2. 若 \(u\) 所在 SCC 的拓扑序小于 \(v\) 所在 SCC 的拓扑序，则 \(d_u<d_v\)。
3. 把点按 \(d_u\) 升序排序后，\(\sum\limits_{j=1}^id_j=\binom i2\) 的点 \(i\) 到上一个满足此条件的点 \(p\) 之间的点 \((p,i]\) 构成一个 SCC。
4. 竞赛图一定存在 Hamilton 通路，且可以 \(\mathcal{O}(n^2)\) 构造出。
5. 强连通竞赛图一定存在 Hamilton 回路，且可以 \(\mathcal{O}(n^2)\) 构造出。

前两点性质比较简单，下面给出性质 3,4,5 的证明：
对于性质 3，根据性质 2，\([1,u]\) 会形成若干 SCC 和一个可能不完整的 SCC。当 \([1,u]\) 形成的 SCC 都是完整的时显然满足 \(\sum\limits_{j=1}^ud_j=\binom u2\)，否则若 \(\sum\limits_{j=1}^ud_j=\binom u2\)，若 SCC 不完整，在 \([1,u]\) 内部所有边的基础上，肯定会有外部的连边，LHS 的值 \(>\binom u2\)，所以一定是完整的。

对于性质 4，考虑增量构造，设 \(1\sim u-1\) 的 Hamilton 通路 \(Q_1,Q_2,\dots,Q_{u-1}\)，若存在 \(u\rightarrow Q_1\) 或 \(Q_{u-1}\rightarrow u\)，直接接上去即可，否则存在 \(Q_1\rightarrow u\) 和 \(u\rightarrow Q_{u-1}\)，此时一定存在 \(Q_i\rightarrow u \rightarrow Q_{i+1}\)，否则可以推得对于所有 \(i\)，存在 \(Q_i\rightarrow u\)，矛盾。于是找到这样的 \(i\)，接到 \(Q_i\) 和 \(Q_{i+1}\) 之间即可。时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\)。

对于性质 5，考虑先求出一条 Hamilton 通路 \(Q\)，找到回路上最后一个 \(x\) 使得存在 \(Q_x\rightarrow Q_1\)，由于图强连通，\(x\) 一定存在。那么初始有环 \(C=Q_1\rightsquigarrow Q_x\rightarrow Q_1\)。然后考虑增量构造，依次加入 \(u=Q_{x+1},\dots,Q_n\)。考虑维护一条链 \(P\) 为原先 \(Q\) 的一个后缀，且时刻满足 \(\forall x\in C,y\in P\)，存在边 \((x,y)\)。如果当前 \(P=\varnothing\)，当存在 \(u\rightarrow v, v\in C\) 时，由于 \(x\) 的最大性有 \(Q_1\rightarrow u\)，类似性质 4 中的证明，可以把 \(u\) 插入环中，否则，把 \(u\) 接到 \(P\) 结尾，不改变 \(P\) 的性质。若 \(P\ne\varnothing\) 且 \(\not\exists u\rightarrow v, v\in C\)，仍然考虑把 \(u\) 接入到 \(P\) 结尾，否则设 \(v\) 的前驱为 \(w\)，由于 \(w\rightarrow p_1\) 存在，直接把 \(P\cup\{u\}\) 并入即可。最后由于 \(P\) 中的点都不可能到达 \(C\)，而原图强连通，故 \(P\) 为空，Hamilton 回路存在，求解时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\)。

然后对于每个点 \(u\)，找出 \(u\) 所在的 SCC 及拓扑序比 \(u\) 所在 SCC 大的 Hamilton 回路即可，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\)。