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摘要： 第一类斯特林数 定义 将 $n$ 个互不相同的元素，划分为 $k$ 个互不区分的非空轮换的方案数，记为 $s(n,k)$，或 $n \brack m $。 一个轮换就是一个首尾相接的环形排列。如轮换 $[A,B,C,D]$，我们认为 $[A,B,C,D]=[B,C,D,A]=[C,D,A,B]=[D 阅读全文

摘要： 定义 考虑一个有 $n$ 个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 $n$ 个元素的错排数记为 $D_n$。 对于情况较少的排列，可以使用枚举法。 当 $n=1$ 时，全排列只有一种，不是错排，$D_1 = 0$。 当 $n=2$ 时，全排列 阅读全文

摘要： 前置芝士 二项式定理 $(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^ib^{n-i}$、 组合数的性质： 将选出的集合对全集取补集，数值不变： $\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}$ 。 $(1)$ 根据定义可以推出： $\binom{n}{k}=\f 阅读全文

摘要： 定义 设全集 $U$ 中有 $n$ 种不同的属性，而第 $i$ 种属性称为 $P_i$，拥有属性 $P_i$ 的元素构成集合 $S_i$，那么 $ \left | \bigcup_{i=1}^{n} S_i\right | =\sum \left | S_i \right |-\sum_{i<j} 阅读全文

摘要： 参考了这篇博客 引入 $n$ 个元素进栈序列为：$1,2,3,4...n$，求总共有多少种出栈序列。 将进栈表示为 $+1$，出栈表示为 $-1$，则 $1,3,2$ 的出栈序列可以表示为：$+1,-1,+1,+1,-1,-1$。 根据栈本身的特点，每个出栈序列的所有前缀和必然 $\geq 0$，并 阅读全文

摘要： 以下部分内容摘自OI Wiki 排列数 从 $n$ 个数中选出 $m$ 个数按照一定的顺序排列，用 $A_{n}^{m}$ 表示。排列的计算公式如下： $A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!}$。 组合数 从 $n$ 个不同的元素中，选出 阅读全文

摘要： 抽屉原理 在构造题中，若我们遇到了 $n/k$ 这样的操作次数的时候，可以考虑将所有数划分为 $k$ 个集合。这样，最小的那个集合的大小就一定小于等于 $n/k$ 了。 CF1198C 给定一张有 $3n$ 个点，$m$ 条边的无向图。请找到一个大小为 $n$ 的点独立集或边独立集。 $n \leq 阅读全文

摘要： 部分内容参照了OI-wiki 定义 对于这样的一个无向图，左侧的 ${1,2,3}$ 和右侧的 ${3,4,5}$ 分别构成一个点双联通分量。中间的 $3$ 号节点就是一个割点。不难发现，点双与点双之间，通过割点连接。 把原图中的点双新建成一个节点，称之为方点；而原图中的割点以及剩下的孤点，称之为圆 阅读全文

摘要： 原题链接 题意 给定一个长度为 $2^n$ 的数组 $a$，现在需要处理 $q$ 个询问，每个询问是以下 $4$ 种类型之一： $Replace(x, k)$ 把 $a_x$ 修改为 $k$。 $Reverse(k)$ 对于每一个 $i(i\ge 1)$ ，把区间 $[(i-1)\cdot 2^k+ 阅读全文

摘要： 原题链接 题意 给定两个由 0,1,- 组成的字符串 $S$，$T$，以及一个空串 $R$。$S$ 的长度为 $n$。 现在要进行 $n$ 次操作，每一次操作取出 $S$ 的第一个字符 $c$，然后将其在 $S$ 中删除。如果 $c$ 是字符 -，那么删除 $R$ 的开头字符或者结尾字符，否则将 c 阅读全文