【CF1401F】 Reverse and Swap（层标记线段树）

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题意

给定一个长度为 \(2^n\) 的数组 \(a\)，现在需要处理 \(q\) 个询问，每个询问是以下 \(4\) 种类型之一：

1. \(Replace(x, k)\) 把 \(a_x\) 修改为 \(k\)。

2. \(Reverse(k)\) 对于每一个 \(i(i\ge 1)\) ，把区间 \([(i-1)\cdot 2^k+1, i\cdot 2^k]\) 的元素翻转。

3. \(Swap(k)\) 对于每一个 \(i(i\ge 1)\) ，交换区间 \([(2i-2)\cdot2^k+1,(2i-1)\cdot2^k]\) 和 \([(2i-1)\cdot2^k+1,2i\cdot2^k]\) 的所有元素。

4. \(Sum(l,r)\) 输出区间 \([l,r]\) 中所有元素的和。

数据范围

\(0\leq n \leq 18,1\leq n \leq 10^5,0\leq a_i\leq10^9\)。

思路

注意到数组的长度和操作的区间比较特殊。不难发现建立线段树以后，每次 \(2,3\) 操作的区间必然对应到线段树上相应的若干完整的节点。

设线段树的根节点为第 \(n\) 层，层数依次往下递减，那么第 \(k\) 层自左向右第 \(i\) 个节点就对应到原数组的区间 \([(i-1)\cdot 2^k+1, i\cdot 2^k]\)。记 \(rev_i\) 表示第 \(i\) 层节点的左右儿子是否交换。

对于 Replace 和 Sum 操作，直接在线段树上递归修改或查询即可。

对于 Reverse 操作，在线段树上对应到将第 \(k\) 层的所有节点对应的区间翻转，实质上就是交换第 \(1 \sum k\) 层的所有节点的左右儿子，那么只需要将对应的 \(rev_i\) 修改即可。

对于 Swap 操作，不难发现就是交换第 \(k+1\) 层所有节点的左右儿子，只需要修改 \(rev_{k+1}\) 即可。

code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=5e5+10;
#define LL long long
int n,m;bool rev[N];LL val[N<<2];
void push_up(int p){val[p]=val[p<<1]+val[p<<1|1];}
void build(int p,int l,int r)
{
	if(l==r) return scanf("%lld",&val[p]),void();int mid=l+r>>1;
	build(p<<1,l,mid),build(p<<1|1,mid+1,r);push_up(p);
}
void update(int p,int l,int r,int x,int k,int dep)
{
	if(l==r) return val[p]=k,void();int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) update(p<<1|rev[dep],l,mid,x,k,dep-1);
	else update(p<<1|rev[dep]^1,mid+1,r,x,k,dep-1);
	push_up(p);
}
LL query(int p,int l,int r,int L,int R,int dep)
{
	if(L<=l&&r<=R) return val[p];int mid=l+r>>1;LL res=0;
	if(L<=mid) res+=query(p<<1|rev[dep],l,mid,L,R,dep-1);
	if(R>mid) res+=query(p<<1|rev[dep]^1,mid+1,r,L,R,dep-1);
	return res;
}
void Reverse(int k){for(int i=0;i<=k;i++) rev[i]^=1;}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);build(1,1,1<<n);
	while(m--)
	{
		int opt,x,y;scanf("%d",&opt);
		if(opt==1) scanf("%d%d",&x,&y),update(1,1,1<<n,x,y,n);
		if(opt==2) scanf("%d",&x),Reverse(x);
		if(opt==3) scanf("%d",&x),rev[x+1]^=1;
		if(opt==4) scanf("%d%d",&x,&y),printf("%lld\n",query(1,1,1<<n,x,y,n));
	}
	return 0;
}