错排数

定义

考虑一个有 \(n\) 个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 \(n\) 个元素的错排数记为 \(D_n\)。

对于情况较少的排列，可以使用枚举法。

当 \(n=1\) 时，全排列只有一种，不是错排，\(D_1 = 0\)。

当 \(n=2\) 时，全排列有两种，即 \(1、2\) 和 \(2、1\)，后者是错排，\(D_2=1\)。

当n=3时，全排列有六种，其中只有 \(3、1、2\) 和 \(2、3、1\) 是错排，\(D_3=2\)。用同样的方法可以知道 \(D_4=9\)。

最小的几个错排数是：\(D_1 = 0，D_2 = 1，D_3=2，D_4 = 9，D_5 = 44，D_6 = 265，D_7 = 1854\)。

递推式：

考虑对于一个数 \(n\)，放在了第 \(i\) 个位置，那么 \(i\) 这个数就可以放在 \(n\) 位置，或者除了 \(i,n\) 以为的任意一个位置。

（1）\(i\) 放在了 \(n\) 位置，那么剩下的 \(n-2\) 个数的排列方法就是 \(D_{n-2}\)。

（2）\(i\) 不放在 \(n\) 位置，那么 \(i\) 就有 \(n-2\) 个位置可以去，其余的所有元素也都有 \(n-2\) 个位置可以去，那么就成为了 \(n-1\) 个元素的错排问题，方案数为 \(D_{n-1}\)。

而这样的 \(i\) 一共有 \(n-1\) 个，所以最终的递推式就是：

\(D_{n}=(n-1)\times (D_{n-1}+D_{n-2})\)。

排列计数

求有多少种 \(1\) 到 \(n\) 的排列 \(a\)，满足序列恰好有 \(m\) 个位置 \(i\)，使得 \(a_i = i\)。

答案对 \(10^9 + 7\) 取模。

\(1 \leq n \leq 10^6\)，\(0 \leq m \leq 10^6\)。

思路：

排列中有 \(m\) 个位置在原位置上，那么也就是有 \(n-m\) 个数不在原位置上，这部分的方案数就是 \(D_{n-m}\)，而选取这 \(m\) 个位置的方案数为 \(\binom{n}{m}\)，所以最终的答案为：

\(Ans=\binom{n}{m} D_{n-m}\)。

code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e6+10;
int fac[N],infac[N],inv[N],n,m,T,d[N];
void init()
{
	fac[0]=infac[0]=inv[0]=fac[1]=infac[1]=inv[1]=1;d[1]=0;d[2]=1;
	for(int i=2;i<N-1;i++)
	{
		d[i+1]=1ll*i*(d[i]+d[i-1])%mod;
		fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mod;
		inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		infac[i]=1ll*infac[i-1]*inv[i]%mod;
	}
}
int C(int n,int m){return 1ll*fac[n]*infac[m]%mod*infac[n-m]%mod;}
int main()
{
	init();
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if(n==m) puts("1");
		else printf("%d\n",(1ll*C(n,m)*d[n-m]%mod+mod)%mod);
	}
	return 0;
}