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第十节 闭区间上连续函数的性质 一 、有界性与最大值最小值定理 对于在区间I 上有定义的函数 \(f(x)\), 如果有 \(x₀∈I\), 使得对于任一 \(x ∈I\) 都有 \(f(x)≤f(x₀) (f(x)≥f(x₀))\), 那么称$ f(x₀)$ 是函数 \(f(x)\) 在区间 I 阅读全文
posted @ 2024-04-20 21:47
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第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数和、差、积、商的连续性 定理1： 设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在点 \(x₀\) 连续，则它们的和(差)\(f±g\)、积\(f·g\)及商 \(\frac{f}{g}\) (当 \(g(x₀)≠0\) 时)都在点 x₀ 连续 阅读全文
posted @ 2024-04-19 17:19
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第八节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 连续的定义 定义1: 设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x₀\) 的某一邻域内有定义，如果: \(\qquad\qquad \Large \underset{\triangle x\rightarrow 0}{\lim}\triangle y=\ 阅读全文
posted @ 2024-04-19 17:00
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第七节 无穷小的比较 两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度 下面的 α 及 β 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 \(α≠0\), \(\lim \frac{\beta}{\alpha}\) 也是在这个变化过程中的极限. 定义： 如果 \(\Large 阅读全文
posted @ 2024-04-19 14:16
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第六节 极限存在准则 两个重要极限 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 单调增加和单调减少的数列统称为单调数列 准则Ⅱ’ 设函数 \(f(x)\) 在点 \(x₀\) 的某个左邻域内单调并且有界，则 \(f(x)\) 在 \(x₀\) 的左极限 \(f(x₀)\) 必定存在. 柯西极限存在准则 数列 \ 阅读全文
posted @ 2024-04-19 13:40
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第四节 无穷大与无穷小 一、无穷小 二、无穷大 阅读全文
posted @ 2024-04-18 22:26
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第五节 极限运算法则 本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限 定理1: 两个无穷小的和是无穷小。 用数学归纳法可证：有限个无穷小之和也是无穷小 定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推 阅读全文
posted @ 2024-04-18 22:26
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第三节 函数的极限 一、函数极限的定义 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限 主要研究两种情形： (1) 自变量 x 任意接近于有限值 \(x_0\) 或者说趋于有限值 \(x_0\) (记作 \(x→x₀\))时，对应的 阅读全文
posted @ 2024-04-18 09:55
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第二节 数列的极限 数列的概念：如果按照某一法则，对每个 \(n\in N_+\), 对应着一个确定的实数 \(x_n\), 这些实数 \(x_n\), 按照下标 n 从小到大排列得到的一个序列 \(x₁,x₂,x₃,\cdots ,x_n, \cdots ,\) 就叫做数列，简记为数列 \({x_ 阅读全文
posted @ 2024-04-18 09:55
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第一节 映射与函数 一、映射 1. 映射概念 设 X, Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 \(f\), 使得对 X 中每个元素 x, 按法则 \(f\), 在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应，那么称 \(f\) 为从 X 到 Y 的映射，记作 \(\qquad f:X→Y\), 其中 y 阅读全文
posted @ 2024-04-16 14:41
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