求导数总结

求导数方法总结

导数最后都要是包含 x 的表达式？

答题步骤参考第二节 例13、14

\(\Large \frac{dy}{dx}\) 是 y 对 x 的导数

\(\Large\frac{dx}{dy}\) 是 x 对 y 的导数

1. 基本求导法则与导数公式

1. 常数的导数等于 0

2. 幂函数的导数 \(f(x)=x^n, f'(x) = nx^{n-1}\)

3. 指数函数的导数：\(f(x)=a^x (a>0, a\neq 1), f'(x) = a^x\ln a\)

4. 三角函数：

   1. \((\sin x)'= \cos x\)
   2. \((\cos x)'=-\sin x\)
   3. \((\tan x)'=\sec^2 x\)
   4. \((\sec x)'=\sec x\tan x\)

5. 对数函数的导数：\(f(x)=\log _a x(a>0, a\neq 1), f'(x)=\frac{1}{x\ln a}\)

6. 幂指函数的导数
   
   上图中用的是复合函数的求导和函数的积的求导法则

2. 函数的和、差、积、商的求导法则

(1) \(\Large[u(x)±v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)\);

(2) \(\Large[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\);

(3) \(\large [\frac{u(x)}{vx}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}(v(x)\neq 0)\)

3. 反函数的求导法则

4. 复合函数的求导法则

5. 两边同时取对数

高阶导数的求导

一级一级做下去。

y=f(x),
y'也是关于x 的函数，对这个函数再求一次导

常见初等函数的 n 阶导数

\((e^x)^{(n)}=e^x\)

\((\sin x)^{(n)}=\sin(x + n\cdot\frac{\pi}{2})\)

\((\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\cdot \frac{\pi}{2})\)

\((x^\mu)^{(n)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)\cdots(\mu-n+1)x^{\mu-n}\)
当 \(\mu = n\) 时，\((x^\mu)^{(n)}=n!\)
\((x^\mu)^{(n+k)}=0, (k = 1, 2, \cdots\) 因为常数的导数为 0

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和、差的 n 阶导数

如果函数 \(u=u(x)\) 及 \(v=v(x)\) 都在点 x 处具有 n 阶导数，那么显然 \(u(x)+v(x)\) 及 \(u(x)-v(x)\) 也在点 x 处具有n 阶导数，且
\((u±v)^n=u^{(n)}±v^{(n)}\)

乘的 n 阶导数

乘积 \(u(x)v(x)\) 的 n 阶导数 是莱布尼茨公式

可以利用牛顿二项式定理的公式记忆

\((uv)^n=\sum_{k = 0} ^n{n \choose k}x^{n-k}y^k\)
n-k 和 k 表示 n-k 阶 和 k 阶导数（0 阶导数理解为函数本身）

隐函数求导

两边同时求导

由参数方程确定的函数的导数公式