摘要：
$\mathbb{R}$是不可数的.下面我给出一种自己的证明方法. 它通过证明实数集和$2^{\mathbb{N}}$之间存在双射,把证明实数集不可数这个问题转化成了证明$2^{\mathbb{N}}$不可数的问题,而后者已经解决.————————证明过程————————因为$\mathbb{R}$... 阅读全文
posted @ 2012-11-05 20:23
叶卢庆
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摘要：
命题:可数集的所有有限子集形成的集合仍然是可数集.这是一个简单的命题，因为即使连$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$都是可数的，更不用说可数集的所有有限子集形成的集合了.但是，我还是发现了用另外一个角度可以将其证明，故记录如下.我们知道，欧几里德利用它的反证法证明了素数是可数无... 阅读全文
posted @ 2012-11-05 17:24
叶卢庆
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摘要：
狄利克雷级数\begin{equation} \label{eq:5.13.54} \sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}\end{equation}在$a<s<b$上一致收敛，其中$1<a<b$.证明:先有\begin{equation} n^{-s}<n^{-a}\end{eq... 阅读全文
posted @ 2012-11-05 14:53
叶卢庆
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摘要：
i:幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$在$[a,b]$上一致收敛.此处$-1<a<b<1$. 证明:首先易得$|x|\leq\max\{|a|,|b|\}$,因此$|x|^n\leq\max\{|b|^n,|a|^n\}$.而且级数$\sum_{i=0}^{\infty}|b|... 阅读全文
posted @ 2012-11-05 13:42
叶卢庆
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摘要：
对于$S$内的每一个$x$来说，$\{M_n(x)\}$都是一个由非负数组成的序列，对于$n=1,2,\cdots$及$S$内的每个$x$有$$0\leq |f_n(x)|\leq M_n(x)$$于是，如果$\sum M_n(x)$在$S$上一致收敛，则$\sum f_n(x)$在$S$上一致收... 阅读全文
posted @ 2012-11-05 02:09
叶卢庆
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摘要：
先看两个命题:一致收敛的柯西条件:设$\{f_n\}$是定义在集合$S$上的函数序列.于是，存在一个函数$f$使得$f_n\to f$一致于$S$,当且仅当下述条件得到满足:对于每一个$\varepsilon>0$都存在$N$使得只要$m>N$且$n>N$,就对于$S$内的每个$x$都有$$|f_m... 阅读全文
posted @ 2012-11-05 00:19
叶卢庆
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