摘要：
设$x,q\in\mathbb{R}$,且$|x|<1$.证明级数$\sum_{n=1}^{\infty}n^qx^n$绝对收敛，且$\lim_{n\to\infty}n^qx^n=0$.证明：采用方根判别法.$\limsup_{n\to\infty}(n^q|x|^n)^{\frac{1}{n}}... 阅读全文
posted @ 2012-11-03 21:12
叶卢庆
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一个收敛的数列 \begin{equation} \label{eq:3.17.22} a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots \end{equation} 已知$\lim_{n\to \infty}a_n=a$.这是什么意思呢？按照极限的标准定义，这意味着对... 阅读全文
posted @ 2012-11-03 19:09
叶卢庆
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一个收敛的数列 \begin{equation} \label{eq:3.17.22} a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots \end{equation} 已知$\lim_{n\to \infty}a_n=a$.这是什么意思呢？按照极限的标准定义，这意味着对... 阅读全文
posted @ 2012-11-03 19:09
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设$(c_n)_{n=1}^{\infty}$是正数序列，那么我们有$$\liminf_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}\leq\liminf_{n\to\infty}c_n^{\frac{1}{n}}\leq\limsup_{n\to\infty}c_n^{\frac... 阅读全文
posted @ 2012-11-03 13:52
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设$(c_n)_{n=1}^{\infty}$是正数序列，那么我们有$$\liminf_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}\leq\liminf_{n\to\infty}c_n^{\frac{1}{n}}\leq\limsup_{n\to\infty}c_n^{\frac... 阅读全文
posted @ 2012-11-03 13:52
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设$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是元素不为零的级数.(a)如果$\limsup_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|1$,则级数条件发散.证明：此时，$(|a_n|)_{n=m}^{\infty}$存在发散子列，因此级数条件发散(c)其它情况下，我们还... 阅读全文
posted @ 2012-11-03 11:42
叶卢庆
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设$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是元素不为零的级数.(a)如果$\limsup_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|1$,则级数条件发散.证明：此时，$(|a_n|)_{n=m}^{\infty}$存在发散子列，因此级数条件发散(c)其它情况下，我们还... 阅读全文
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设$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实级数.并设$\alpha$是$(|a_n|^{\frac{1}{n}})_{n=m}^{\infty}$的上极限.(a)若$\alpha1$,则$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是条件发散的.证明：当$\alpha>1$,说明$(|... 阅读全文
posted @ 2012-11-03 01:02
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设$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实级数.并设$\alpha$是$(|a_n|^{\frac{1}{n}})_{n=m}^{\infty}$的上极限.(a)若$\alpha1$,则$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是条件发散的.证明：当$\alpha>1$,说明$(|... 阅读全文
posted @ 2012-11-03 01:02
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设$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是绝对收敛的实数级数,并设$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$是严格增函数.证明$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$也是绝对收敛的级数.证明：利用数学归纳法容... 阅读全文
posted @ 2012-11-03 00:31
叶卢庆
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