摘要：
考虑具有空序关系的空集$\leq_{\emptyset}$（这个关系$\leq_{\emptyset}$是空的，因为空集没有元素）.这个集合是否偏序的？良序的？全序的？给予解释.证明：首先回顾什么是偏序集.偏序集指的是一个集合$X$连同一个关系$\preceq$.$\forall a,b\in X$... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 16:50
叶卢庆
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若$X$是一个有限偏序集，则$X$必有最大元.证明：当$X$为有限集时，我先使用数学归纳法证明$X$必有最大元.当$X$是单元素集时，$X=\{x_0\}$.$x_0$是$X$的最大元,这是因为不存在$x\in\{x_0\}$,使得$x_0\prec x$.否则$x_0\prec x_0$,矛盾.假... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 12:37
叶卢庆
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若$X$是一个有限偏序集，则$X$必有最大元.证明：当$X$为有限集时，我先使用数学归纳法证明$X$必有最大元.当$X$是单元素集时，$X=\{x_0\}$.$x_0$是$X$的最大元,这是因为不存在$x\in\{x_0\}$,使得$x_0\prec x$.否则$x_0\prec x_0$,矛盾.假... 阅读全文
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叶卢庆
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我想对定义8.5.5做一个小小的附注:$X$是偏序集，$Y\subset X$.且$Y$是单元素集$\{y\}$，那么按照定义易知，$Y$的最小元是$y$,最大元也是$y$.还有，由于偏序集的子集仍是偏序集，所以我认为可以把定义8.5.5简化.书上的提法是：设$X$是偏序集，$Y\subset X$... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 12:13
叶卢庆
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我想对定义8.5.5做一个小小的附注:$X$是偏序集，$Y\subset X$.且$Y$是单元素集$\{y\}$，那么按照定义易知，$Y$的最小元是$y$,最大元也是$y$.还有，由于偏序集的子集仍是偏序集，所以我认为可以把定义8.5.5简化.书上的提法是：设$X$是偏序集，$Y\subset X$... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 12:13
叶卢庆
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例8.5.6 的最后叫读者证明全序集只能有至多1个最大元和至多一个最小元.证明:假若全序集$X$有多于1个最大元，则设$x_1,x_2$为最大元，且$x_1\neq x_2$.因为$X$是全序集，所以$x_1$与$x_2$必有序关系.由于$x_1$是最大元，所以$$x_2\leq x_1$$.由于$... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 12:06
叶卢庆
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例8.5.6 的最后叫读者证明全序集只能有至多1个最大元和至多一个最小元.证明:假若全序集$X$有多于1个最大元，则设$x_1,x_2$为最大元，且$x_1\neq x_2$.因为$X$是全序集，所以$x_1$与$x_2$必有序关系.由于$x_1$是最大元，所以$$x_2\leq x_1$$.由于$... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 12:06
叶卢庆
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设$E$是实直线的一个非空子集，且$E$有上界，那么存在一个序列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$,它的元素都在$E$中，并且$$\lim_{n\to\infty}a_n=\sup(E)$$证明:由于$E$有上界，所以有上确界.若$\sup(E)$就是$E$的最大值$\max(E)$，则令... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 09:47
叶卢庆
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设$E$是实直线的一个非空子集，且$E$有上界，那么存在一个序列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$,它的元素都在$E$中，并且$$\lim_{n\to\infty}a_n=\sup(E)$$证明:由于$E$有上界，所以有上确界.若$\sup(E)$就是$E$的最大值$\max(E)$，则令... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 09:47
叶卢庆
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关于例8.4.2的第一个“为什么”：对于任何的集合$I$与$X$,都有$\prod_{\alpha\in I} X=X^I$,为什么？答：根据定义$\prod_{\alpha\in I}X=\{f:\forall\alpha\in I,f(\alpha)\in X\}$,这也就是$X^I$.第二个“... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 09:43
叶卢庆
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