摘要：
设$X$和$Y$都是偏序集，分别具有序关系$\preceq_X$和$\preceq_Y$.在笛卡尔乘积$X\times Y$上定义关系$\preceq_{X\times Y}$如下：$(x,y)\preceq_{X\times Y}(x',y')$如果$x\preceq x'$或者$x=x'$且$y... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 20:55
叶卢庆
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设$X$和$Y$都是偏序集，分别具有序关系$\preceq_X$和$\preceq_Y$.在笛卡尔乘积$X\times Y$上定义关系$\preceq_{X\times Y}$如下：$(x,y)\preceq_{X\times Y}(x',y')$如果$x\preceq x'$或者$x=x'$且$y... 阅读全文
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设$X$是偏序集，并设$Y$,$Y'$是$X$的良序子集.证明$Y\bigcup Y'$是良序的当且仅当它是全序的.证明：$\Rightarrow$是自明的.$\Leftarrow:$任取$Y\bigcup Y'$的一个非空子集$A$.令$A_1=\{x\in A:x\in Y\}$.$A_2=\{... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 20:14
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设$X$是偏序集，并设$Y$,$Y'$是$X$的良序子集.证明$Y\bigcup Y'$是良序的当且仅当它是全序的.证明：$\Rightarrow$是自明的.$\Leftarrow:$任取$Y\bigcup Y'$的一个非空子集$A$.令$A_1=\{x\in A:x\in Y\}$.$A_2=\{... 阅读全文
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原本发表在豆瓣笔记上，现在转移到这里来.阿蒂亚是世界著名数学家.这应该是阿提亚的一次简短的演讲，应该是比较随便地讲讲的，没有很强的组织性。但是我确信他讲的每一句话都是真话。我十分相信阿提亚这样卓越的数学家，就如同我十分相信陶哲轩的每一句话一样。阿提亚在这篇演讲中谈及了与数学研究有关的几个问题。我在这... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 18:04
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原本发表在豆瓣笔记上，现在转移到这里来.阿蒂亚是世界著名数学家.这应该是阿提亚的一次简短的演讲，应该是比较随便地讲讲的，没有很强的组织性。但是我确信他讲的每一句话都是真话。我十分相信阿提亚这样卓越的数学家，就如同我十分相信陶哲轩的每一句话一样。阿提亚在这篇演讲中谈及了与数学研究有关的几个问题。我在这... 阅读全文
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设$X$是全序集，若$X$的每个非空子集都有最大元和最小元，那么$X$是有限的.证明：假设$X$是无限的.则必有$x_0\prec x_1\prec x_2\cdots$(全序集保证了任何两个元素都有关系）显然集合$\{x_n:n\in\mathbb{N}\}$没有最大元.矛盾. 阅读全文
posted @ 2013-01-17 17:49
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设$X$是全序集，若$X$的每个非空子集都有最大元和最小元，那么$X$是有限的.证明：假设$X$是无限的.则必有$x_0\prec x_1\prec x_2\cdots$(全序集保证了任何两个元素都有关系）显然集合$\{x_n:n\in\mathbb{N}\}$没有最大元.矛盾. 阅读全文
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设$X$是一个偏序集，对于任何$x\in X$,定义序理想$(x)$为集合$$(x):=\{y:y\preceq x\}$$设$(X):=\{(x):x\in X\}$是全体序理想的集合.并设$f:X\to (X)$是映射$f(x):=(x)$,它把每个元素映成它的序理想.证明$f$是双射.并且对任... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 17:11
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设$X$是一个偏序集，对于任何$x\in X$,定义序理想$(x)$为集合$$(x):=\{y:y\preceq x\}$$设$(X):=\{(x):x\in X\}$是全体序理想的集合.并设$f:X\to (X)$是映射$f(x):=(x)$,它把每个元素映成它的序理想.证明$f$是双射.并且对任... 阅读全文
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设$f:X\to Y$是从集合$X$到$Y$的函数.假设$Y$是具有某个序关系$\preceq_Y$的偏序集.在$X$上定义一个关系$\preceq_X$使得$x\preceq_X x'$当且仅当$f(x)\preceq_Y f(x')$.证明这个关系使$X$成为一个偏序集.证明：首先证明$\for... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 16:59
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设$f:X\to Y$是从集合$X$到$Y$的函数.假设$Y$是具有某个序关系$\preceq_Y$的偏序集.在$X$上定义一个关系$\preceq_X$使得$x\preceq_X x'$当且仅当$f(x)\preceq_Y f(x')$.证明这个关系使$X$成为一个偏序集.证明：首先证明$\for... 阅读全文
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习题8.5.2 给出集合$X$及满足下列条件的关系$\preceq$的例子.(1)关系$\preceq$是自反的和反对称的，但不是传递的.三个人$A$,$B$,$C$组成一个集合.关系是朋友关系.首先规定每个人都是自己的朋友.再规定$A$是$B$的朋友，$B$是$A$的朋友.再规定$C$是$B$的朋... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 16:54
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习题8.5.2 给出集合$X$及满足下列条件的关系$\preceq$的例子.(1)关系$\preceq$是自反的和反对称的，但不是传递的.三个人$A$,$B$,$C$组成一个集合.关系是朋友关系.首先规定每个人都是自己的朋友.再规定$A$是$B$的朋友，$B$是$A$的朋友.再规定$C$是$B$的朋... 阅读全文
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考虑具有空序关系的空集$\leq_{\emptyset}$（这个关系$\leq_{\emptyset}$是空的，因为空集没有元素）.这个集合是否偏序的？良序的？全序的？给予解释.证明：首先回顾什么是偏序集.偏序集指的是一个集合$X$连同一个关系$\preceq$.$\forall a,b\in X$... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 16:50
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考虑具有空序关系的空集$\leq_{\emptyset}$（这个关系$\leq_{\emptyset}$是空的，因为空集没有元素）.这个集合是否偏序的？良序的？全序的？给予解释.证明：首先回顾什么是偏序集.偏序集指的是一个集合$X$连同一个关系$\preceq$.$\forall a,b\in X$... 阅读全文
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若$X$是一个有限偏序集，则$X$必有最大元.证明：当$X$为有限集时，我先使用数学归纳法证明$X$必有最大元.当$X$是单元素集时，$X=\{x_0\}$.$x_0$是$X$的最大元,这是因为不存在$x\in\{x_0\}$,使得$x_0\prec x$.否则$x_0\prec x_0$,矛盾.假... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 12:37
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若$X$是一个有限偏序集，则$X$必有最大元.证明：当$X$为有限集时，我先使用数学归纳法证明$X$必有最大元.当$X$是单元素集时，$X=\{x_0\}$.$x_0$是$X$的最大元,这是因为不存在$x\in\{x_0\}$,使得$x_0\prec x$.否则$x_0\prec x_0$,矛盾.假... 阅读全文
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我想对定义8.5.5做一个小小的附注:$X$是偏序集，$Y\subset X$.且$Y$是单元素集$\{y\}$，那么按照定义易知，$Y$的最小元是$y$,最大元也是$y$.还有，由于偏序集的子集仍是偏序集，所以我认为可以把定义8.5.5简化.书上的提法是：设$X$是偏序集，$Y\subset X$... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 12:13
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我想对定义8.5.5做一个小小的附注:$X$是偏序集，$Y\subset X$.且$Y$是单元素集$\{y\}$，那么按照定义易知，$Y$的最小元是$y$,最大元也是$y$.还有，由于偏序集的子集仍是偏序集，所以我认为可以把定义8.5.5简化.书上的提法是：设$X$是偏序集，$Y\subset X$... 阅读全文
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例8.5.6 的最后叫读者证明全序集只能有至多1个最大元和至多一个最小元.证明:假若全序集$X$有多于1个最大元，则设$x_1,x_2$为最大元，且$x_1\neq x_2$.因为$X$是全序集，所以$x_1$与$x_2$必有序关系.由于$x_1$是最大元，所以$$x_2\leq x_1$$.由于$... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 12:06
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例8.5.6 的最后叫读者证明全序集只能有至多1个最大元和至多一个最小元.证明:假若全序集$X$有多于1个最大元，则设$x_1,x_2$为最大元，且$x_1\neq x_2$.因为$X$是全序集，所以$x_1$与$x_2$必有序关系.由于$x_1$是最大元，所以$$x_2\leq x_1$$.由于$... 阅读全文
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设$E$是实直线的一个非空子集，且$E$有上界，那么存在一个序列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$,它的元素都在$E$中，并且$$\lim_{n\to\infty}a_n=\sup(E)$$证明:由于$E$有上界，所以有上确界.若$\sup(E)$就是$E$的最大值$\max(E)$，则令... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 09:47
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设$E$是实直线的一个非空子集，且$E$有上界，那么存在一个序列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$,它的元素都在$E$中，并且$$\lim_{n\to\infty}a_n=\sup(E)$$证明:由于$E$有上界，所以有上确界.若$\sup(E)$就是$E$的最大值$\max(E)$，则令... 阅读全文
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关于例8.4.2的第一个“为什么”：对于任何的集合$I$与$X$,都有$\prod_{\alpha\in I} X=X^I$,为什么？答：根据定义$\prod_{\alpha\in I}X=\{f:\forall\alpha\in I,f(\alpha)\in X\}$,这也就是$X^I$.第二个“... 阅读全文
posted @ 2013-01-17 09:43
叶卢庆
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关于例8.4.2的第一个“为什么”：对于任何的集合$I$与$X$,都有$\prod_{\alpha\in I} X=X^I$,为什么？答：根据定义$\prod_{\alpha\in I}X=\{f:\forall\alpha\in I,f(\alpha)\in X\}$,这也就是$X^I$.第二个“... 阅读全文
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