叶卢庆 - 博客园

2013年2月9日

陶哲轩实分析习题11.4.2

摘要： Let $f$ be continuous and Riemann integrable on $[a, b]$ and $f(x) \geq 0$ for all $x \in [a,b]$. I'm trying to show that if $\int^b_a f(x) \ dx = 0$ ... 阅读全文

posted @ 2013-02-09 01:51 叶卢庆阅读(177) 评论(0) 推荐(0)

陶哲轩实分析定理 11.4.3 $\max$与$\min$保持黎曼可积性

摘要：设$I$是有界区间,并设$f:I\to\mathbf{R}$与$g:I\to\mathbf{R}$都是$\bf{Riemann}$可积函数,那么由$$\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x))$$定义的函数$\max(f,g)$以及由$$\min(f,g):=\min((f(x),g... 阅读全文

posted @ 2013-02-09 00:56 叶卢庆阅读(331) 评论(0) 推荐(0)

陶哲轩实分析定理 11.4.3 $\max$与$\min$保持黎曼可积性

摘要：设$I$是有界区间,并设$f:I\to\mathbf{R}$与$g:I\to\mathbf{R}$都是$\bf{Riemann}$可积函数,那么由$$\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x))$$定义的函数$\max(f,g)$以及由$$\min(f,g):=\min((f(x),g... 阅读全文

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2013年2月7日

陶哲轩实分析引理 11.1.4

摘要：设$X$是实直线的子集合，那么下述两命题是逻辑等价的. (a)$X$是有界的并且是连通的. (b)$X$是有界区间. 证明:当$X$是空集时，两个命题显然是逻辑等价的. 当$X$是非空集合时，(a)$\Rightarrow$(b):由于$X$非空，且$X$有界，因此$X$有上确界$\sup (X)... 阅读全文

posted @ 2013-02-07 11:06 叶卢庆阅读(195) 评论(0) 推荐(0)

陶哲轩实分析引理 11.1.4

摘要：设$X$是实直线的子集合，那么下述两命题是逻辑等价的. (a)$X$是有界的并且是连通的. (b)$X$是有界区间. 证明:当$X$是空集时，两个命题显然是逻辑等价的. 当$X$是非空集合时，(a)$\Rightarrow$(b):由于$X$非空，且$X$有界，因此$X$有上确界$\sup (X)... 阅读全文

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2013年2月6日

陶哲轩实分析例 1.2.12 洛必达法则使用注意事项

摘要：举两个不能使用洛必达法则的例子.例1.$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x}$$如果此例用了洛必达法则,则$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1}=1.$$这显然是错误的.$\frac{0}{0}$型洛必达法则:当$... 阅读全文

posted @ 2013-02-06 23:16 叶卢庆阅读(607) 评论(0) 推荐(0)

陶哲轩实分析例 1.2.12 洛必达法则使用注意事项

摘要：举两个不能使用洛必达法则的例子.例1.$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x}$$如果此例用了洛必达法则,则$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1}=1.$$这显然是错误的.$\frac{0}{0}$型洛必达法则:当$... 阅读全文

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陶哲轩实分析习题 10.3.5

摘要：构造一个子集$X\subset \mathbf{R}$和一个函数$f:X\to \mathbf{R}$,使得$f$在$X$上可微，并且对于一切$x\in X$,$f'(x)>0$,但是$f$不是严格单调递增的.解:令$X=(0,1)\bigcup (1,2)$.当$x\in (0,1)$时，令$f(... 阅读全文

posted @ 2013-02-06 05:10 叶卢庆阅读(148) 评论(0) 推荐(0)

陶哲轩实分析习题 10.3.5

摘要：构造一个子集$X\subset \mathbf{R}$和一个函数$f:X\to \mathbf{R}$,使得$f$在$X$上可微，并且对于一切$x\in X$,$f'(x)>0$,但是$f$不是严格单调递增的.解:令$X=(0,1)\bigcup (1,2)$.当$x\in (0,1)$时，令$f(... 阅读全文

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陶哲轩实分析习题10.2.7 导函数有界的函数一致连续

摘要：设$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$是可微函数，并且$f'$是有界的，证明$f$是一致连续的.证明:设 \begin{align*} a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots \end{align*}是$\mathbf{R}$上的任意一个数列.设 \begin{ali... 阅读全文

posted @ 2013-02-06 04:07 叶卢庆阅读(477) 评论(0) 推荐(0)

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