摘要：
举两个不能使用洛必达法则的例子.例1.$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x}$$如果此例用了洛必达法则,则$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1}=1.$$这显然是错误的.$\frac{0}{0}$型洛必达法则:当$... 阅读全文
posted @ 2013-02-06 23:16
叶卢庆
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举两个不能使用洛必达法则的例子.例1.$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x}$$如果此例用了洛必达法则,则$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1}=1.$$这显然是错误的.$\frac{0}{0}$型洛必达法则:当$... 阅读全文
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构造一个子集$X\subset \mathbf{R}$和一个函数$f:X\to \mathbf{R}$,使得$f$在$X$上可微，并且对于一切$x\in X$,$f'(x)>0$,但是$f$不是严格单调递增的.解:令$X=(0,1)\bigcup (1,2)$.当$x\in (0,1)$时，令$f(... 阅读全文
posted @ 2013-02-06 05:10
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构造一个子集$X\subset \mathbf{R}$和一个函数$f:X\to \mathbf{R}$,使得$f$在$X$上可微，并且对于一切$x\in X$,$f'(x)>0$,但是$f$不是严格单调递增的.解:令$X=(0,1)\bigcup (1,2)$.当$x\in (0,1)$时，令$f(... 阅读全文
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设$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$是可微函数，并且$f'$是有界的，证明$f$是一致连续的.证明:设 \begin{align*} a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots \end{align*}是$\mathbf{R}$上的任意一个数列.设 \begin{ali... 阅读全文
posted @ 2013-02-06 04:07
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设$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$是可微函数，并且$f'$是有界的，证明$f$是一致连续的.证明:设 \begin{align*} a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots \end{align*}是$\mathbf{R}$上的任意一个数列.设 \begin{ali... 阅读全文
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设$[a,b]$是$\mathbf{R}$上的闭区间,且$f(x)$是$[a,b]$上的连续函数,则$f(x)$在$[a,b]$上一致连续.证明:反证法.假设$f(x)$在$[a,b]$上不是一致连续的,则必定存在这么两个序列,其中$$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$$是$[a,... 阅读全文
posted @ 2013-02-06 01:21
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设$[a,b]$是$\mathbf{R}$上的闭区间,且$f(x)$是$[a,b]$上的连续函数,则$f(x)$在$[a,b]$上一致连续.证明:反证法.假设$f(x)$在$[a,b]$上不是一致连续的,则必定存在这么两个序列,其中$$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$$是$[a,... 阅读全文
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