摘要：
如果$P*$是$P$的加细，那么$$L(P,f,\alpha)\leq L(P^*,f,\alpha)$$且$$U(P^*,f,\alpha)\leq U(P,f,\alpha)$$证明：这两个命题对于Riemann积分来说是显然成立的，之所以对于Riemann-Stieltjes积分也成立，是因为... 阅读全文
posted @ 2013-02-10 01:22
叶卢庆
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$f$是$[a,b]$上的函数，$f$是有界变差函数当且仅当$f$可以表示为$[a,b]$上两个增函数之差.证明：$\Leftarrow$:根据数学分析_Tom M.Apostol_定理6.5，可知$[a,b]$上的两个增函数都是$[a,b]$上的有界变差函数.而且，同一个闭区间上两个有界变差函数的... 阅读全文
posted @ 2013-02-09 14:00
叶卢庆
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$f$是$[a,b]$上的函数，$f$是有界变差函数当且仅当$f$可以表示为$[a,b]$上两个增函数之差.证明：$\Leftarrow$:根据数学分析_Tom M.Apostol_定理6.5，可知$[a,b]$上的两个增函数都是$[a,b]$上的有界变差函数.而且，同一个闭区间上两个有界变差函数的... 阅读全文
posted @ 2013-02-09 14:00
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设$f,g$是$[a,b]$上的[有界变差函数],则$f+g$也是$[a,b]$上的有界变差函数.证明：设$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是对$[a,b]$的任意分割.由于$f$是$[a,b]$上的有界变差函数，因此$$\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)... 阅读全文
posted @ 2013-02-09 12:55
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设$f,g$是$[a,b]$上的[有界变差函数],则$f+g$也是$[a,b]$上的有界变差函数.证明：设$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是对$[a,b]$的任意分割.由于$f$是$[a,b]$上的有界变差函数，因此$$\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)... 阅读全文
posted @ 2013-02-09 12:55
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如果$f$在$[a,b]$上是有界变差函数，即对于$[a,b]$的全部[分划]都有$\sum|\Delta f_k|\leq M$,则$f$在$[a,b]$上是有界的，事实上对于$[a,b]$内的一切$x$都有$$|f(x)|\leq |f(a)|+M$$证明：很简单.$\forall c\in [... 阅读全文
posted @ 2013-02-09 12:11
叶卢庆
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如果$f$在$[a,b]$上是有界变差函数，即对于$[a,b]$的全部[分划]都有$\sum|\Delta f_k|\leq M$,则$f$在$[a,b]$上是有界的，事实上对于$[a,b]$内的一切$x$都有$$|f(x)|\leq |f(a)|+M$$证明：很简单.$\forall c\in [... 阅读全文
posted @ 2013-02-09 12:11
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如果$f$在$[a,b]$上单调，则$f$是$[a,b]$上的有界变差函数.证明：不妨设$f$在$[a,b]$上递增.设$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是对区间$[a,b]$的任意分割,则$$\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|=\sum_{i=0}^{... 阅读全文
posted @ 2013-02-09 11:51
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如果$f$在$[a,b]$上单调，则$f$是$[a,b]$上的有界变差函数.证明：不妨设$f$在$[a,b]$上递增.设$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是对区间$[a,b]$的任意分割,则$$\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|=\sum_{i=0}^{... 阅读全文
posted @ 2013-02-09 11:51
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Let $f$ be continuous and Riemann integrable on $[a, b]$ and $f(x) \geq 0$ for all $x \in [a,b]$. I'm trying to show that if $\int^b_a f(x) \ dx = 0$ ... 阅读全文
posted @ 2013-02-09 01:51
叶卢庆
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