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2013年3月7日
陶哲轩实分析 定理 13.3.5 :紧致度量空间上的连续函数一致连续
摘要： 设 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 都是度量空间,假定 $(X,d_X)$ 是紧致的,如果 $f:X\to Y$ 是函数,那么 $f$ 是连续的当且仅当 $f$ 是一致连续的.证明:当 $f$ 是一致连续时,$f$ 显然是连续的.我们主要证明 $f$ 连续时一致连续.我们采用反证法,假若... 阅读全文
posted @ 2013-03-07 20:25 叶卢庆 阅读(617) 评论(0) 推荐(0)
陶哲轩实分析 命题 13.3.2 最大值原理
摘要： 设 $(X,d)$ 是紧致度量空间,并设 $f:X\to\mathbf{R}$ 是连续函数,那么 $f$ 是有界的.更进一步, $f$ 在某点 $x_{\max}\in X$ 达到它的最大值,也在某点 $x_{\min}$ 达到它的最小值.证明:我先证明 $f$ 在 $X$ 上有界.根据 陶哲轩实分... 阅读全文
posted @ 2013-03-07 16:33 叶卢庆 阅读(259) 评论(0) 推荐(0)
陶哲轩实分析 命题 13.3.2 最大值原理
摘要： 设 $(X,d)$ 是紧致度量空间,并设 $f:X\to\mathbf{R}$ 是连续函数,那么 $f$ 是有界的.更进一步, $f$ 在某点 $x_{\max}\in X$ 达到它的最大值,也在某点 $x_{\min}$ 达到它的最小值.证明:我先证明 $f$ 在 $X$ 上有界.根据 陶哲轩实分... 阅读全文
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2013年3月6日
陶哲轩实分析 定理 13.1.5
摘要： 设 $(X,d_X)$ 是度量空间,并设 $(Y,d_Y)$ 是另一个度量空间.设 $f:X\to Y$是函数,那么 $f$ 是连续的可以推出(c)只要 $V$ 是 $Y$ 中的开集,集合 $f^{-1}(V):=\{x\in X:f(x)\in V\}$ 就 是 $X$ 中的开集.\begin{p... 阅读全文
posted @ 2013-03-06 15:39 叶卢庆 阅读(237) 评论(0) 推荐(0)
陶哲轩实分析 定理 13.1.5
摘要： 设 $(X,d_X)$ 是度量空间,并设 $(Y,d_Y)$ 是另一个度量空间.设 $f:X\to Y$是函数,那么 $f$ 是连续的可以推出(c)只要 $V$ 是 $Y$ 中的开集,集合 $f^{-1}(V):=\{x\in X:f(x)\in V\}$ 就 是 $X$ 中的开集.\begin{p... 阅读全文
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2013年3月5日
陶哲轩实分析 12.5.15 :有限交性质
摘要： 设 $(X,d)$ 是紧致度量空间.假设 $(K_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中 的一个闭子集族,它具有这样的性质:对于一切有限集 $F\subset I$,$\bigcap_{\alpha\in F}K_{\alpha}\neq\emptyset$.证明$\big... 阅读全文
posted @ 2013-03-05 20:11 叶卢庆 阅读(444) 评论(0) 推荐(0)
陶哲轩实分析 12.5.15 :有限交性质
摘要： 设 $(X,d)$ 是紧致度量空间.假设 $(K_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中 的一个闭子集族,它具有这样的性质:对于一切有限集 $F\subset I$,$\bigcap_{\alpha\in F}K_{\alpha}\neq\emptyset$.证明$\big... 阅读全文
posted @ 2013-03-05 20:11 叶卢庆 阅读(1400) 评论(0) 推荐(0)
陶哲轩实分析 习题 12.5.14
摘要： 设 $(X,d)$ 是度量空间,$E$ 是 $X$ 的非空紧致子集合,并设 $x_0$ 是 $X$ 的点.证明:存在 $x\in E$,使得 $$ d(x_0,x)=\inf\{d(x_0,y):y\in E\} $$\begin{proof} 由于 $\forall y\in E$,$d(x_0,... 阅读全文
posted @ 2013-03-05 16:19 叶卢庆 阅读(279) 评论(0) 推荐(0)
陶哲轩实分析 习题 12.5.14
摘要： 设 $(X,d)$ 是度量空间,$E$ 是 $X$ 的非空紧致子集合,并设 $x_0$ 是 $X$ 的点.证明:存在 $x\in E$,使得 $$ d(x_0,x)=\inf\{d(x_0,y):y\in E\} $$\begin{proof} 由于 $\forall y\in E$,$d(x_0,... 阅读全文
posted @ 2013-03-05 16:19 叶卢庆 阅读(183) 评论(0) 推荐(0)
陶哲轩实分析 习题 12.5.13
摘要： 设 $E$ 和 $F$ 是 $\mathbf{R}$ (带有标准度量)的两个紧致子集合,证明笛卡 尔乘积 $E\times F:=\{(x,y):x\in E,y\in F\}$ 是 $\mathbf{R}^2$(带有欧几 里德度量 $d_{l^2}$)的紧致子集合.\begin{proof}对于 ... 阅读全文
posted @ 2013-03-05 01:35 叶卢庆 阅读(199) 评论(0) 推荐(0)
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