摘要：
设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $E$ 是 $X$ 的子集合,且 $E$ 是道路连通的,求证 $E$ 是连通的.证明:假如 $E$ 不是连通的,则 $E$ 可以分解成两个非空的互不相交的集合 $A$ 和 $B$ 的并,其中 $A$ 和 $B$ 都是相对于 $E$ 的开集.在 $A$ 里选取一个... 阅读全文
posted @ 2013-03-09 21:19
叶卢庆
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设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $(E_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中的一族连通集合.还设 $\bigcap_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 不空.证明 $\bigcup_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 是连通的.证明:由于... 阅读全文
posted @ 2013-03-09 17:55
叶卢庆
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设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $(E_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中的一族连通集合.还设 $\bigcap_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 不空.证明 $\bigcup_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 是连通的.证明:由于... 阅读全文
posted @ 2013-03-09 17:55
叶卢庆
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(中值定理) 设 $f:X\to \mathbf{R}$ 是从度量空间 $(X,d_X)$ 到实直线的连续映射.设 $E$ 是 $X$ 的连通子集合,并设 $a,b\in X$.设 $y$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数.那么存在 $c\in E$,使得 $f(c)=y$.证明:... 阅读全文
posted @ 2013-03-09 16:30
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(中值定理) 设 $f:X\to \mathbf{R}$ 是从度量空间 $(X,d_X)$ 到实直线的连续映射.设 $E$ 是 $X$ 的连通子集合,并设 $a,b\in X$.设 $y$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数.那么存在 $c\in E$,使得 $f(c)=y$.证明:... 阅读全文
posted @ 2013-03-09 16:30
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设 $f:X\to Y$ 是从度量空间 $(X,d_X)$ 到度量空间 $(Y,d_Y)$ 的连续映射.设 $E$ 是 $X$ 的连通子集,那么 $f(E)$ 是 $Y$ 的连通子集.证明:假设 $f(E)$ 不是 $Y$ 的连通子集,则 $f(E)$ 可以分解成两个不相交集合 $A$ 和 $B$ ... 阅读全文
posted @ 2013-03-09 15:01
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设 $f:X\to Y$ 是从度量空间 $(X,d_X)$ 到度量空间 $(Y,d_Y)$ 的连续映射.设 $E$ 是 $X$ 的连通子集,那么 $f(E)$ 是 $Y$ 的连通子集.证明:假设 $f(E)$ 不是 $Y$ 的连通子集,则 $f(E)$ 可以分解成两个不相交集合 $A$ 和 $B$ ... 阅读全文
posted @ 2013-03-09 15:01
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设 $X$ 是实直线 $\mathbf{R}$ 的子集合,那么下述命题等价. (a) $X$ 是连通的. (b) 只要 $x,y\in X$,并且 $x<y$,就有 $[x,y]\subseteq X$.证明:(a)$\Rightarrow $(b) 假若存在 $x,y\in X$,并且 $x<y$... 阅读全文
posted @ 2013-03-09 11:01
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设 $X$ 是实直线 $\mathbf{R}$ 的子集合,那么下述命题等价. (a) $X$ 是连通的. (b) 只要 $x,y\in X$,并且 $x<y$,就有 $[x,y]\subseteq X$.证明:(a)$\Rightarrow $(b) 假若存在 $x,y\in X$,并且 $x<y$... 阅读全文
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