摘要：
设 $(X,d)$ 是紧致度量空间.假设 $(K_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中 的一个闭子集族,它具有这样的性质:对于一切有限集 $F\subset I$,$\bigcap_{\alpha\in F}K_{\alpha}\neq\emptyset$.证明$\big... 阅读全文
posted @ 2013-03-05 20:11
叶卢庆
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设 $(X,d)$ 是紧致度量空间.假设 $(K_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中 的一个闭子集族,它具有这样的性质:对于一切有限集 $F\subset I$,$\bigcap_{\alpha\in F}K_{\alpha}\neq\emptyset$.证明$\big... 阅读全文
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设 $(X,d)$ 是度量空间,$E$ 是 $X$ 的非空紧致子集合,并设 $x_0$ 是 $X$ 的点.证明:存在 $x\in E$,使得 $$ d(x_0,x)=\inf\{d(x_0,y):y\in E\} $$\begin{proof} 由于 $\forall y\in E$,$d(x_0,... 阅读全文
posted @ 2013-03-05 16:19
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设 $(X,d)$ 是度量空间,$E$ 是 $X$ 的非空紧致子集合,并设 $x_0$ 是 $X$ 的点.证明:存在 $x\in E$,使得 $$ d(x_0,x)=\inf\{d(x_0,y):y\in E\} $$\begin{proof} 由于 $\forall y\in E$,$d(x_0,... 阅读全文
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设 $E$ 和 $F$ 是 $\mathbf{R}$ (带有标准度量)的两个紧致子集合,证明笛卡 尔乘积 $E\times F:=\{(x,y):x\in E,y\in F\}$ 是 $\mathbf{R}^2$(带有欧几 里德度量 $d_{l^2}$)的紧致子集合.\begin{proof}对于 ... 阅读全文
posted @ 2013-03-05 01:35
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设 $E$ 和 $F$ 是 $\mathbf{R}$ (带有标准度量)的两个紧致子集合,证明笛卡 尔乘积 $E\times F:=\{(x,y):x\in E,y\in F\}$ 是 $\mathbf{R}^2$(带有欧几 里德度量 $d_{l^2}$)的紧致子集合.\begin{proof}对于 ... 阅读全文
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设 $(X,d_{disc})$ 是具有离散度量 $d_{disc}$ 的度量空间.(a)证明 $X$ 是完备的.\begin{proof}即证明 $X$ 的每个柯西列都收敛到 $X$ 中的一个元素.而事实上,$X$ 中的任意一个柯西列迟早都是同一个元素(为什么?),当然这个柯西列最终会收敛到这个元... 阅读全文
posted @ 2013-03-05 00:33
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设 $(X,d_{disc})$ 是具有离散度量 $d_{disc}$ 的度量空间.(a)证明 $X$ 是完备的.\begin{proof}即证明 $X$ 的每个柯西列都收敛到 $X$ 中的一个元素.而事实上,$X$ 中的任意一个柯西列迟早都是同一个元素(为什么?),当然这个柯西列最终会收敛到这个元... 阅读全文
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度量空间 $(X,d)$ 叫作是全有界的,如果对于每个 $\varepsilon>0$,都存在正整数 $n$ 和 $n$ 个球 $B(x^{(1)},\varepsilon),\cdots,B(x^{(n)},\varepsilon)$,它们覆盖 $X$.(a)证明:全有界的空间是有界的.\begi... 阅读全文
posted @ 2013-03-05 00:07
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度量空间 $(X,d)$ 叫作是全有界的,如果对于每个 $\varepsilon>0$,都存在正整数 $n$ 和 $n$ 个球 $B(x^{(1)},\varepsilon),\cdots,B(x^{(n)},\varepsilon)$,它们覆盖 $X$.(a)证明:全有界的空间是有界的.\begi... 阅读全文
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