随笔分类 -  不等式问题与猜想

摘要：刘老师在其博客(http://9sin9.blog.163.com/blog/static/5727175820092244554210/)中贴了如下有趣的不等式：设点 $P$为$\triangle{ABC}$内部任意一点，则成立不等式：$\frac{a^2R_{1}^2+b^2R_{2}^2+c^2R_{3}^2}{R_{1}R_{2}R_{3}}\geq 2(h_{a}+h_{b}+h_{c}).$等号当且仅当 $\triangle{ABC}$为正三角形且 $P$为其中心时成立。可他说他给出的证明很繁，计算量超大。 阅读全文

摘要：今天上午动用win7旗舰版64位SP1(英特尔第二代酷睿I7-2630QM @ 2.00GHz4核 内存 8G)下基于maple 16平台的BOTTEMA2009费时2899.02s,消耗内存633.56M,得到使不等式$m_{a}w_{a}+m_{b}w_{b}+m_{c}w_{c}\leq k\cdot s^2$成立的最佳常数 $k$ 为如下一 $7$ 次方程$729k^7-7599k^6-2765379k^5+3324197k^4+5132891k^3-13650781k^2+12684303k-4718873=0$位于区间 $\left(\frac{41}{40},\frac{28}{ 阅读全文

摘要：刘健在【刘健.涉及三角形内部一点的两个不等式[J].天水师范学院学报,2010,30(2):44-46】中提出了如下的半对称几何不等式猜想:在锐角 $\triangle{ABC}$ 中成立不等式$\sqrt{m_b}+\sqrt{m_c}\geq \sqrt{2(w_b+w_c)}.$ 阅读全文

摘要：刘保乾先生曾提出如下含参几何不等式猜想:在 $\triangle{ABC}$ 中, 试证:\[\frac{a}{k b+c}+\frac{m_a}{k m_b+m_c}\geq \frac{2}{k+1} \left(\frac{1}{2}\leq k\leq 2\right).\]据我所知，该不等式目前尚未获证. 阅读全文

摘要：赵长健教授约在10年前提出如下涉及两个单形的几何不等式猜想：设 $P$ 为单形 $\Omega=\{A_{1},A_{2},\cdots,A_{n+1}\}$ 内的任意点, $|PA_{i}|=R_{i}$, $P'$ 为单形 $\Omega^{'}=\{A_{1}^{'},A_{2}^{'},\... 阅读全文

摘要：尹华焱先生在其博客（http://7812032.blog.163.com/blog/static/127735028201302683646718/）中提出了如下猜想 在 $\triangle{ABC}$ 中,\[\sum{\frac{w_{a}(m_{a}+r_{a})}{bc}}\leq (a+b+c)\cdot\sum{\frac{1}{b+c}},\]其中 $w_{a}, m_{a}, r_{a}, a, b, c$ 分别表示 $\triangle{ABC}$ 的角平分线、中线、旁切圆半径和边长. 本人尝试了一下发现这个不等式很强，不好证。 阅读全文

摘要：冷岗松教授在【G. S. Leng, Some inequalities involving two simplexes [J], Geom. Dedicata, 66(1997),89-98.】一文中提出了如下涉及两个单形的几何不等式猜想:设单形 $\Omega=\{P_{0},P_{1},\cdots, P_{n}\}$ 与 $\Omega^{'}=\{P_{0}^{'},P_{1}^{'},\cdots, P_{n}^{'}\}$ 的棱长分别为 $P_{ij}=a_{ij}(0\leq i<j\leq n)$, $P_{ij}^{'}=a_{ 阅读全文

摘要：最近刘健在【http://www.icstm.ro/DOCS/josa/josa_2012_2/a_03_Liu_J.pdf】证明了如下的几何不等式:\[m_{a}+m_{b}+m_{c}-(h_{a}+h_{b}+h_{c})\leq 2(R-2r).\]并提出了一个反向的猜想:\[m_{a}+m_{b}+m_{c}-(h_{a}+h_{b}+h_{c})\geq s-3\sqrt{3}r.\] 如果该猜想成立，就可以从上述两个不等式推得著名的Blundon不等式:\[s\leq 2R+(3\sqrt{3}-4)r.\] 阅读全文

摘要：最近刘健在【http://www.icstm.ro/DOCS/josa/josa_2012_1/a_01_Liu.pdf】给出Oppenheim不等式$R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}\geq (r_{1}+r_{2})(r_{2}+r_{3})+(r_{2}+r_{3})(r_{3}+r_{1})\\+(r_{3}+r_{1})(r_{1}+r_{2})$一个优雅的证明，并猜测其加强版$R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}\geq (w_{1}+w_{2})(w_{2}+w_{3})+(w_{2}+w_{3})(w_{3}+w_{. 阅读全文