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posted @ 2021-01-08 15:30 听竹居士的博客 阅读(14) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:题目 若$a,b,c>0$,求证:$\frac{b^2c^2}{a^2+2bc}+\frac{c^2a^2}{b^2+2ca}+\frac{a^2b^2}{c^2+2ab}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}.$ 证明: 原不等式等价于$\frac{2b^2c^2}{a^2+2bc} 阅读全文
posted @ 2021-01-08 12:36 听竹居士的博客 阅读(17) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:题目: 已知$a,b,c>0$,$abc\geq \frac{1}{2}$,求证: $\frac{1}{4a^3+1}+\frac{1}{4b^3+1}+\frac{1}{4c^3+1}\geq \frac{1}{4abc+1}.$ 证明:由已知可设$a=\sqrt[3]{\frac{kyz}{x^ 阅读全文
posted @ 2021-01-03 11:21 听竹居士的博客 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:题目: 已知$a,b,c,d\in R$,求证:$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)(d^2+3)\geq 16(a+b+c+d)^2+(abcd-1)^2.$证明:因为$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)(d^2+3)-16(a+b+c+d)^2-(abcd-1)^2$$=3[(a 阅读全文
posted @ 2020-12-29 11:03 听竹居士的博客 阅读(13) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:题目:已知$a,b,c>0$,$abc=1$,求证:$\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\leq\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{a+b^2+c}+\frac{1}{a+b+c^2}\leq \frac{3}{a+b+c}.$证明:(I)先证明右边的不等式.由柯西不等式可 阅读全文
posted @ 2020-12-28 17:55 听竹居士的博客 阅读(11) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:题目:已知$a,b,c>0$,求证:$3\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}}+2\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 4.$证明:令$x=2\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$,则由$a, 阅读全文
posted @ 2020-12-28 14:13 听竹居士的博客 阅读(11) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:题目: 已知$a,b,c,d>0$,求证:$(a^3+3)(b^3+3)(c^3+3)(d^3+3)\geq 4(a+b+c+d)^3.$证明:在正实数$a,b,c$中,必有2个同时不小于1,或者不大于1,不妨设为$a,b$,则有$(a^3-1)(b^3-1)\geq 0$,即$a^3b^3\geq 阅读全文
posted @ 2020-12-28 10:47 听竹居士的博客 阅读(8) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:题目: 已知$a,b,c,d,e\in R$,求证:$(a^2+4)(b^2+4)(c^2+4)(d^2+4)(e^2+4)\geq 125(a+b+c+d+e)^2.$证明:先证明几个引理.引理1.当$x_{1}\geq 1,x_{2}\geq 1,x_{3}\geq 1,x_{4}\geq 1$ 阅读全文
posted @ 2020-12-28 10:40 听竹居士的博客 阅读(9) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:题目:已知$a,b,c>0$,$a^2+b^2+c^2=3$,求证:$\frac{a}{1+2a^3}+\frac{b}{1+2b^3}+\frac{c}{1+2c^3}\leq \frac{a+b+c}{1+2abc}.$ 证明: 由已知及AM-GM不等式可得$3=a^2+b^2+c^2\geq 阅读全文
posted @ 2020-12-26 19:25 听竹居士的博客 阅读(11) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:题目:已知$a,b,c>0$,求证:$\frac{a^2}{1+2a^2b}+\frac{b^2}{1+2b^2c}+\frac{c^2}{1+2c^2a}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{1+2abc}.$证明:原不等式等价于$\frac{a^2(1+2a^2b)-2a^4b}{1+ 阅读全文
posted @ 2020-12-26 14:56 听竹居士的博客 阅读(12) 评论(0) 推荐(0) 编辑