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qq.2.1 设$x,y,z,m\in R$, $(x-y)(y-z)(z-x)\geq 0$,则 $\sum{\left(\frac{x-y}{y-z}-m\right)^2}\geq 2m^2+2m+5.$ 证明：因为$\sum{\left(\frac{x-y}{y-z}-m\right)^2} 阅读全文
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题目 若$a,b,c>0$,求证:$\frac{b^3}{a^2+2bc}+\frac{c^3}{b^2+2ca}+\frac{a^3}{c^2+2ab}\geq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}.$证明: 由柯西不等式可得$\frac{b^3}{a^2+2bc}+\frac 阅读全文
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题目 若$a,b,c>0$,求证:$\frac{b^2c^2}{a^2+2bc}+\frac{c^2a^2}{b^2+2ca}+\frac{a^2b^2}{c^2+2ab}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}.$ 证明: 原不等式等价于$\frac{2b^2c^2}{a^2+2bc} 阅读全文
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题目: 已知$a,b,c>0$,$abc\geq \frac{1}{2}$,求证: $\frac{1}{4a^3+1}+\frac{1}{4b^3+1}+\frac{1}{4c^3+1}\geq \frac{1}{4abc+1}.$ 证明:由已知可设$a=\sqrt[3]{\frac{kyz}{x^ 阅读全文
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题目: 已知$a,b,c,d\in R$,求证:$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)(d^2+3)\geq 16(a+b+c+d)^2+(abcd-1)^2.$证明:因为$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)(d^2+3)-16(a+b+c+d)^2-(abcd-1)^2$$=3[(a 阅读全文
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题目:已知$a,b,c>0$,$abc=1$,求证:$\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\leq\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{a+b^2+c}+\frac{1}{a+b+c^2}\leq \frac{3}{a+b+c}.$证明:(I)先证明右边的不等式.由柯西不等式可 阅读全文
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题目:已知$a,b,c>0$,求证:$3\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}}+2\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 4.$证明:令$x=2\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$,则由$a, 阅读全文
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题目: 已知$a,b,c,d>0$,求证:$(a^3+3)(b^3+3)(c^3+3)(d^3+3)\geq 4(a+b+c+d)^3.$证明:在正实数$a,b,c$中,必有2个同时不小于1,或者不大于1,不妨设为$a,b$,则有$(a^3-1)(b^3-1)\geq 0$,即$a^3b^3\geq 阅读全文
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题目: 已知$a,b,c,d,e\in R$,求证:$(a^2+4)(b^2+4)(c^2+4)(d^2+4)(e^2+4)\geq 125(a+b+c+d+e)^2.$证明:先证明几个引理.引理1.当$x_{1}\geq 1,x_{2}\geq 1,x_{3}\geq 1,x_{4}\geq 1$ 阅读全文
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题目:已知$a,b,c>0$,$a^2+b^2+c^2=3$,求证:$\frac{a}{1+2a^3}+\frac{b}{1+2b^3}+\frac{c}{1+2c^3}\leq \frac{a+b+c}{1+2abc}.$ 证明: 由已知及AM-GM不等式可得$3=a^2+b^2+c^2\geq 阅读全文