函数性质的综合应用习题2-02

前情概要

• 函数性质的综合应用习题2-01 - 静雅斋数学 - 博客园

函数性质[函数的性质的综合应用主要涉及单调性、奇偶性、对称性的综合应用]的综合应用，是模考和高考中常见的题型。要想顺利解决这类题目，需要我们清楚函数的各种性质的常见给出方式，理解其组合方式和常用的思维模式，现举例说明如下：

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应用类型

利用函数的性质，我们可以求解函数的解析式，可以比较函数值的大小，可以解抽象函数不等式 和 具体函数不等式；

典例剖析

【2019届高三理科函数的奇偶性周期性课时作业第13题】设定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)同时满足以下条件：

①\(f(x)+f(-x)=0\)；②\(f(x)=f(x+2)\)；③当\(0\leq x<1\)时，\(f(x)=2^x-1\)，

则\(f(\cfrac{1}{2})+f(1)+f(\cfrac{3}{2})+f(2)+f(\cfrac{5}{2})\)的值是_________。

分析：由①知，函数为奇函数，在利用③先做出\([0，1)\)上的图像，

再利用奇函数，做出\((-1，0]\)上的图像，一个周期基本完成，就差端点值\(f(-1)\)和\(f(1)\)的值未确定；

难点是求\(f(1)\)的值，可以通过以下几个思路求解，

法1：图像法，假设\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，则\(f(-1)=-\cfrac{1}{2}\)，奇偶性是说的通的，

但是周期性不满足，因为向右平移一个周期后，元素\(1\)对应\(\cfrac{1}{2}\)，还对应\(-\cfrac{1}{2}\)，

出现了一对多，不是函数了，故只能有\(f(1)=0\)，即也有\(f(-1)=0\)，

这样在一个周期上奇偶性和周期性都是满足的。

法2：题中没有明确告诉，但是由①②可知，

\(f(x+2)=-f(-x)\)，即\(f(x+2)+f(-x)=0\)，即对称中心是\((1，0)\)，

这时要么函数在\((1，0)\)处没有定义，这个不满足题意；

要么必有\(f(1)=0\)，则\(f(-1)=0\)；其余就好处理了。

法3：赋值法，由\(f(x)+f(-x)=0\)，令\(x=1\)，得到\(f(1)+f(-1)=0\)①，

令\(x=-1\)，由\(f(x)=f(x+2)\)得到，\(f(-1)=f(1)\)②，

故有\(f(1)=f(-1)=0\)，

在此基础上，做出函数的大致图像，可知\(f(1)=f(2)=f(0)=0\)，

\(f(\cfrac{3}{2})+f(\cfrac{5}{2})=0\)，\(f(\cfrac{1}{2})=\sqrt{2}-1\)，

故\(f(\cfrac{1}{2})+f(1)+f(\cfrac{3}{2})+f(2)+f(\cfrac{5}{2})=\sqrt{2}-1\)。

【2019高三理科数学第二次月考跟踪训练第10题】【2018汉中模拟】已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，对任意两个不相等的正数\(x_1，x_2\)都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}<0\)，记\(a=25f(0.2^2)\)，\(b=f(1)\)，\(c=-log_53\times f(log_{\frac{1}{3}}5)\)，则【\(\qquad\)】

$A.c＜b＜a$ $B.b＜a＜c$ $C.c＜a＜b$ $D.a＜b＜c$

分析：构造函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，则\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}<0\)，

故\(x>0\)时，函数\(g(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递减，

又函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)为偶函数(奇/奇)，故\(g(-x)=g(x)\)，

\(a=25f(0.2^2)=\cfrac{f(0.04)}{0.04}=g(0.04)\)，\(b=f(1)=\cfrac{f(1)}{1}=g(1)\)；

\(c=-log_53\times f(log_{\frac{1}{3}}5)=-\cfrac{1}{log_35}\times f(-log_35)=\cfrac{f(-log_35)}{-log_35}=g(-log_35)=g(log_35)\)，

由于\(0.04<1<log_35\)，函数\(g(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递减，

故\(g(0.04)>g(1)>g(log_35)\)，即\(a>b>c\)，故选\(A\)。

【2019宝中高三文科数学第二次月考跟踪训练第10题】定义域为\(R\)的偶函数\(f(x)\)是周期为\(2\)的周期函数，且在区间\([0，1]\)上\(f(x)=e^x\)，则\(f(\ln\cfrac{1}{19})\)(\(e^2\approx 7.4\)，\(e^3\approx 20.1\))=【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{19}{e^2}$ $B.\cfrac{19}{2}$ $C.e^{19}$ $D.19$

分析：令\(\ln19=t\)，则\(e^t=19\)，即\(e^2<e^t<e^3\)，

故\(2<t<3\)，即\(\ln19\in (2，3)\)；则\(\ln19-2\in (0，1)\)；

故\(f(\ln\cfrac{1}{19})=f(-\ln19)=f(\ln19)=f(\ln19-2)\)

\(=e^{\ln19-2}=e^{\ln19}\cdot e^{-2}=\cfrac{19}{e^2}\)，故选A。

【2019凤翔中学理科数学二轮资料用题】已知定义在\(R\)上的偶函数\(f(x)\)(其中\(f'(x)\)为其导函数)，满足\(f(x-\cfrac{1}{2})+f(x+1)=0\)，\(e^3\cdot f(2018)=1\)，若\(f(x)>f'(-x)\)，则关于\(x\)的不等式\(f(x+2)>\cfrac{1}{e^x}\)的解集为【\(\qquad\)】

$A(-\infty，3)$ $B(3，+\infty)$ $C(-\infty，0)$ $D(0，+\infty)$

分析：由\(f(x-\cfrac{1}{2})+f(x+1)=0\)可知，\(T=3\)，故可以将\(e^3\cdot f(2018)=1\)转化为\(e^3\cdot f(2)=1\)，

又由于偶函数的导函数为奇函数，则可将\(f(x)>f'(-x)\)转化为\(f(x)+f'(x)>0\)，

故定义\(g(x)=e^x\cdot f(x)\)，则\(g'(x)=e^x[f(x)+f'(x)]>0\)，故函数\(g(x)\)在\(R\)上单调递增，

又\(f(x+2)>\cfrac{1}{e^x}\)，即\(e^x\cdot f(x+2)>1\)，即\(e^x\cdot f(x+2)>e^3\cdot f(2)\)，即\(e^{x-1}\cdot f(x+2)>e^2\cdot f(2)\)，

即\(e^{x-1}\cdot f(x-1)>e^2\cdot f(2)\)，即\(g(x-1)>g(2)\)，由于函数\(g(x)\)在\(R\)上单调递增，

故可得，\(x-1>2\)，解得\(x>3\)，故选\(B\)。

【2019凤翔中学理科数学二轮资料限时训练5第14题】已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(x-4)=-f(x)\)，且当\(-1\leq x\leq 1\)时，\(f(x)=-2^{-x+1}\)，则\(f(2019)\)=_______。

分析：由\(f(x-4)=-f(x)\)，得到\(T=8\)，则\(f(2019)=f(3)\)；又在\(f(x-4)=-f(x)\)中，令\(x=3\)，则\(f(3)=-f(3-4)=-f(-1)=-(-2^{-(-1)+1})=4\)，故\(f(2019)=4\)。

【2017届理科数学试题】已知定义在\(R\)上的偶函数满足：\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)，且当\(x\in [0,2]\)时，\(y=f(x)\)单调递减，给出以下四个命题：

①\(f(2)=0\)；

②\(x=-4\)为函数\(y=f(x)\)图像的一条对称轴；

③函数\(y=f(x)\)在区间\([8,10]\)上单调递增；

④若方程\(f(x)=m\)在区间\([-6,-2]\)上的两根为\(x_1\)，\(x_2\)，则\(x_1+x_2=-8\)；

以上命题中所有正确命题的序号为______________。

分析：由于函数\(f(x)\)为偶函数，且\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)，

令\(x=-2\)，则\(f(-2+4)=f(2)=f(-2)+f(2)\)，则\(f(-2)=0\)，即\(f(2)=0\)，故①正确，

这样由\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)，得到\(f(x+4)=f(x)\)，即周期\(T=4\)，

结合\(x\in [0,2]\)时，\(y=f(x)\)单调递减，我们可以做出适合题意的下图，

由图就能很容易得到②正确，而③错误，由②能很容易得到④也是正确的。

综上所述，正确的代号有①②④。

另解：用数的方法推导，如函数为偶函数，则\(f(-x)=f(x)\)，又\(f(x-8)=f(x)\)，

则得到\(f(-x)=f(x-8)\)，则得到其对称轴为\(x=-4\)，其实我们还可以得到更多的对称轴。

又由于\(x\in [0,2]\)时，\(y=f(x)\)单调递减，则\(x\in [8,10]\)时，\(y=f(x)\)单调递减，故③错误；

又由于函数在\([-6，-2]\)上是关于\(x=-4\)对称的，故方程\(f(x)=m\)在区间\([-6,-2]\)上的两根为\(x_1\)，\(x_2\)也是关于\(x=-4\)对称，

故\(\cfrac{x_1+x_2}{2}=-4\)，故\(x_1+x_2=-8\)，故④正确。

综上所述，正确的代号有①②④。

【2021 山东烟台一模】已知 \(f(x)\) 是定义在 \(R\) 上的奇函数， \(f(2-x)=f(x)\)， 当 \(x\)\(\in\)\([0, 1]\)时， \(f(x)\)\(=\)\(x^{3}\)， 则【\(\qquad\)】

$A$.$f(2021)=0$

$B.$$2$ 是 $f(x)$ 的一个周期

$C.$当 $x \in(1,3)$ 时, $f(x)=(1-x)^{3}$

$D.$$f(x)>0$ 的解集为 $(4 k, 4 k+2)(k \in Z)$

解析: 因为 \(f(x)\) 是定义在 \(R\) 上的奇函数， 所以\(f(x)=-f(-x)\)，又已知 \(f(2-x)=f(x)\)， 即\(f(2-x)\)\(=\)\(-f(-x)\)， 所以 \(f(2+x)\)\(=\)\(-f(x)\)，所以 \(f(4+x)\)\(=\)\(-f(2+x)\)\(=\)\(f(x)\)， 所以 \(f(x)\) 的最小正周期是 \(4\) ， 故 \(B\) 错误；

这样，\(f(2021)\)\(=\)\(f(505\times4+1)\)\(=\)\(f(1)\)\(=\)\(1\)， 故 \(A\) 错误；

因为当 \(x\in[0，1]\) 时， \(f(x)=x^{3}\)， \(f(x)\) 是定义在 \(R\) 上的奇函数， 所以当 \(x\in[-1,1]\) 时， \(f(x)\)\(=\)\(x^{3}\)，当 \(x\)\(\in\)\((1,3)\) 时， \(2-x\)\(\in\)\((-1,1)\)， \(f(x)\)\(=\)\(f(2-x)\)\(=\)\((2-x)^{3}\)， 故 \(C\) 错误；

因为当 \(x\)\(\in\)\((0,2)\) 时， \(f(x)\)\(>\)\(0\)， \(f(x)\) 的最小正周期是 \(4\) ， 所以 \(f(x)\)\(>\)\(0\) 的解集为 \((4k, 4k+2)\)\((k\)\(\in\)\(Z)\)， 故 \(D\) 正确.

[熟悉函数各种性质的各种研究方法]已知函数\(f(x)=x^2-2x\cos x\)，则下列关于\(f(x)\)表述正确的是【\(\qquad\)】

$A$.函数$f(x)$的图像关于$y$轴对称

$B$.$\exists$$x_0$$\in$$R$，$f(x)_{min}=-1$

$C$.函数$f(x)$有$4$个零点

$D$.函数$f(x)$有无数个极值点

分析：对于选项\(A\)，考查函数的奇偶性判断；

利用定义求解如下：由于\(f(-x)=(-x)^2-2(-x)\cos(-x)=x^2+2x\cos x\)，则\(f(-x)\neq \pm f(x)\)，故是非奇非偶函数；

利用奇偶性的推论求解如下：函数\(y=x^2\)为偶函数，\(y=-2x\cdot\cos x\)为奇函数，故\(f(x)\)是非奇非偶函数，故\(A\)错误；

对于选项\(B\)，考查函数的最值的求解方法；

利用变形转化求解如下：由于\(x^2+1=2x\cos x\)有解，则\(x+\cfrac{1}{x}=2\cos x\)有解，

\(x+\cfrac{1}{x}\geqslant 2\)，当且仅当\(x=1\)时取到等号；但此时\(2\cos x=2\cos1<2\)，

故左右不相等，即方程\(x+\cfrac{1}{x}=2\cos x\)无解，故\(B\)错误；

利用图像法求解如下：\(x^2-2x\cos x\geqslant -1\)有解，即\(y=x^2+1\)与函数\(y=2x\cos x\)图像有交点，

手动作图，大致能分析出两个函数图像无交点，故\(B\)错误[下下之选]；

对于选项\(C\)，考查函数的零点的求解方法[注意各种方法在一个题目中的组合使用]；\(f(x)=x(x-2cosx)\)；

则由解方程法[方法1]得到一个零点\(x=0\)，接下来求\(g(x)=x-2\cos x\)的零点个数，采用图像法[方法2]，

做出图像可知，此时只有一个交点，即函数\(g(x)\)有一个零点，故共有\(2\)个零点，故\(C\)错误；

对于选项\(D\)，考查函数的极值点的求解；

由题可知\(f'(x)=0\)有无数个穿根零点[朝三角变换上想，注意不是相切零点]，

则\(2x-2\cos x+2x\sin x=0\)有无穷多个解，即\(x(1+\sin x)=\cos x\)，

也即\(x=\cfrac{\cos x}{1+\sin x}\)，而右端\(\cfrac{\cos x}{1+\sin x}=\tan(\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{x}{2})\)，

关于\(\cfrac{\cos x}{1+\sin x}=\tan(\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{x}{2})\)变形过程，有空整理；

而函数\(y=x\)和函数\(y=\tan(\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{x}{2})\)图像有无穷多个交点[非相切]，故选\(D\)；

补充思路，当\(\sin x=-1\)时，刚好\(\cos x=0\)，故\(x(1+\sin x)=\cos x\)成立，有无穷多个解；

解后反思：相切零点的例子，比如\(y=1\)和\(y=\cos x\)的图像，所以对于函数\(g(x)=x-\sin x\)而言，

虽说导函数\(g'(x)=1-\cos x\)有无穷多个零点[都是相切零点，不是穿根零点]，但没有一个能成为极值点的。

【轴对称+中心对称推导周期性】已知定义在 \(\boldsymbol{R}\) 上的函数 \(f(x)\) 满足 \(f(x)=f(2-x)\) ，且 \(f(x)\) 的图象关于点 \((3,0)\) 对称，当 \(1 \leqslant x \leqslant 2\) 时， \(f(x)=2 x+\log _3(4 x+3)\) ，则 \(f\left(\cfrac{1609}{2}\right)=\) 【\(\qquad\)】

$A.-4$ $B.4$ $C.-5$ $D.5$

解：因为 \(f(x)\) 的图象关于点 \((3,0)\) 对称，所以 \(f(x)\)\(+\)\(f(6-x)=0\)，[中心对称的数的表达形式] ．

又 \(f(x)\)\(=\)\(f(2-x)\) [轴对称的数的表达形式] ，所以 \(f(2-x)\)\(+\)\(f(6-x)=0\) ，

所以 \(f(x)\)\(=\)\(-f(x+4)\) ，则 \(f(x)\)\(=\)\(f(x+8)\) [周期性的数的表达形式] ，即函数 \(f(x)\) 的周期为 \(8\) ，

所以 \(f\left(\cfrac{1609}{2}\right)=f\left(\cfrac{9}{2}+100 \times 8\right)=f\left(\cfrac{9}{2}\right)\) ，

因为 \(f\left(\cfrac{9}{2}\right)\)\(+\)\(f\left(6-\cfrac{9}{2}\right)\)\(=\)\(0\)，

则有 \(f\left(\cfrac{9}{2}\right)\)\(=\)\(-f\left(\cfrac{3}{2}\right)\)\(=\)\(-\left(3+\log _3 9\right)\)\(=\)\(-5\) ，

所以 \(f\left(\cfrac{1609}{2}\right)=-5\) ，

故选 \(C\) ．【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理论证能力与抽象概括能力．

定义在实数集 \(R\) 上的函数 \(f(x)\) 满足 \(f(x)+f(x+2)=0\) ，且 \(f(4-x)=f(x)\) ．现有以下三种叙述：① 8 是函数 \(f(x)\) 的一个周期；② \(f(x)\) 的图象关于直线 \(x=2\) 对称； ③ \(f(x)\) 是偶函数．其中正确的序号是【\(\qquad\)】

解析：由 \(f(x)+f(x+2)=0\) 得 \(f(x+2)=-f(x)\) ，即 \(f(x+4)=-f(x+2)=f(x)\) \(\star\)，

即 \(4\) 是 \(f(x)\) 的一个周期， \(8\) 也是 \(f(x)\) 的一个周期，由 \(f(4-x)=f(x)\) 得 \(f(x)\) 的图象关于直线 \(x=2\) 对称；

又由 \(f(x+4)=f(x)\) 作赋值变换[\(-x\Rightarrow x\)]得到，\(f(4-x)=f(-x)\)，再结合 \(f(4-x)=f(x)\)

得到 \(f(-x)=f(x)\) ，即函数 \(f(x)\) 为偶函数 . 故 正确的序号为 ①②③ .