函数性质的综合应用习题
函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性，奇偶性、周期性、对称性等等，所以她们的综合应用的考查，自然是高考命题的热点。
前言
函数性质的综合应用，是模考和高考中常见的题型。要想顺利解决这类题目，需要我们清楚函数的各种性质的常见给出方式，理解其组合方式和常用的思维模式，现举例说明如下：
应用类型
求函数的解析式，比较函数大小，解抽象函数不等式和具体函数不等式；思维|奇偶周期对称的高阶认知
典例剖析
①对任意的\(x\in R\)，都有\(f(x+2)=f(x-2)\)；
②函数\(y=f(x+2)\)是偶函数；
③当\(x\in(0，2]\)时，\(f(x)=e^x-\cfrac{1}{x}\)，
若已知\(a=f(-5)\)，\(b=f(\cfrac{19}{2})\)，\(c=f(\cfrac{41}{4})\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是【 \(\quad\) 】
分析：本题目是函数各种性质综合应用的典型题目，如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉，
那么由①可知，函数满足\(f(x+4)=f(x)\)，其周期是\(4\)；
由②可知\(y=f(x)\)的对称轴是\(x=2\)，可以表达为\(f(x+4)=f(-x)\)，
那么在结合\(f(x+4)=f(x)\)，可知\(f(-x)=f(x)\)，则函数\(f(x)\)还是偶函数；
由③借助导数工具(或者增+增=增)可得，函数\(f(x)\)在区间\((0，2]\)上单调递增，
有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性，就可以轻松的解决题目中的大小比较了。
\(a=f(-5)\xlongequal{周期性}f(-1)\xlongequal{奇偶性}f(1)\)；
\(b=f(\cfrac{19}{2})\xlongequal{周期性}f(\cfrac{3}{2})=f(1.5)\)；
\(c=f(\cfrac{41}{4})\xlongequal{周期性}f(2+\cfrac{1}{4})\xlongequal{已知表达式}f(\cfrac{1}{4}-2)\xlongequal{偶函数}f(2-\cfrac{1}{4})=f(1.75)\)；
由\(f(x)\)在区间\((0，2]\)上\(\nearrow\)，\(1<1.5<1.75\)， \(\therefore f(1)<f(1.5)<f(1.75)\)，
即\(a<b<c\)，故选\(D\)。
①对于任意的\(x\in R\)，都有\(f(x+1)=f(x-1)\)；
②函数\(y=f(x+1)\)的图像关于\(y\)轴对称；
③对于任意的\(x_1，x_2\in [0，1]\)，都有\([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0\)；
则\(f(\cfrac{3}{2})\)、\(f(2)\)、\(f(3)\)的大小关系是【】
分析：本题目考查函数的各种性质的综合运用，其中主要涉及的是函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性；
由①可知，函数的周期为\(T=2\)，故可以简化其中的两项，\(f(2)=f(0)\)，\(f(3)=f(1)\)；
由②，通过图像的平移，可知函数\(y=f(x)\)的对称轴为直线\(x=1\)，即函数满足条件\(f(x)=f(2-x)\)，再赋值得到，\(f(\cfrac{3}{2})=f(2-\cfrac{3}{2})=f(\cfrac{1}{2})\)；
由③可知函数\(f(x)\)在区间\([0，1]\)上单调递增，由于\(1>\cfrac{1}{2}>0\)，故\(f(1)>f(\cfrac{1}{2})>f(0)\)，即满足\(f(3)>f(\cfrac{3}{2})>f(2)\)，故选\(D\)。
分析：先将奇函数性质改写为，\(f(x)=-f(-x)①\)；
再将对称性\(f(1-x)=f(1+x)\)改写为\(f(2-x)=f(x)②\)，
由①②式可知，\(f(2-x)=-f(-x)\)，即\(f(2+x)=-f(x)\)，故\(T=2\times 2=4\)，
这样\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)\)，接下来就是重点求这些函数值；
由于函数是定义在\(R\)上的奇函数，故\(f(0)=0\)，则\(f(4)=f(4-4)=f(0)=0\)，
令\(x=0\)，则由\(f(2-x)=-f(-x)\)可得到\(f(2-0)=-f(-0)=f(0)=0\)，即\(f(2)=0\)，
\(f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2\)，故\(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0\)，
即所求\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)\)
\(=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)\)
\(=f(1)+f(2)=2\)，故选C
备注：本题目实际上考查的是正弦函数模型。
①\(f(5)=0\)；②\(f(x)\)在区间\([1,2]\)上是减函数；③函数\(f(x)\)没有最小值；
④函数\(f(x)\)在\(x=0\)处取得最大值；⑤\(f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称；
其中正确的序号是_____________.
分析：本题目是函数性质综合应用的典型例题，由于函数满足\(f(1-x)+f(1+x)=0\)，即\(f(2-x)+f(x)=0\)；
又由于\(f(-x)=f(x)\)，则得到\(f(2-x)=-f(-x)\)，即\(f(2+x)=-f(x)\)，故周期\(T=4\)；
在\(f(1-x)+f(1+x)=0\)中，令\(x=0\)，则得到\(2f(1)=0\)，即\(f(1)=0\)，又\(f(5)=f(1)=0\)，故①正确；
又由于\(f(-x)=f(x)\)，则\(f(-1)=f(1)=0\)，则由函数在\([-1,0]\)上单调递增，故由偶函数可知在\([0,1]\)上单调递减，
又由于\(f(1-x)+f(1+x)=0\)，即函数\(f(x)\)图像关于点\((1,0)\)对称，故函数在\([1,2]\)上单调递减，故②正确；
又由于周期为\(T=4\)，故函数在\([2,3]\)上单调递增，且\(f(3)=0\)，故函数有最小值，即③错误；
函数\(f(x)\)在\(x=0\)处取到最大值，故④正确；显然函数的图像应该关于点\((1,0)\)对称，而不是关于直线\(x=1\)对称，故⑤错误；
综上所述，其中正确的序号是①②④；
分析：这类题目往往需要取得符号\(f\)，而在此之前，需要转化为\(f(M)<( 或>)f(N)\)的形式，
然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。
解析：先求定义域，令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得定义域\((-1，1)\)；
再求奇偶性，\(f(-x)=\ln\cfrac{1-x}{1+x}-\sin x\)，\(f(x)=\ln\cfrac{1+x}{1-x}+\sin x\)，所以\(f(-x)+f(x)=0\)，故函数为奇函数；
最后分析单调性，
法一，基本函数法，令\(g(x)=\ln\cfrac{1+x}{1-x}=\ln(-1-\cfrac{2}{x-1})\)，由于\(u=-1-\cfrac{2}{x-1}\)为增函数，
所以函数\(g(x)\)为增函数，故函数\(f(x)=g(x)+\sin x\)为\((-1，1)\)上的增函数，
法二，导数法，\(f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+\cos x>0\)，故函数\(f(x)\)为\((-1，1)\)上的增函数，到此需要的性质基本备齐了，
由\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)，变换得到\(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)\)，由定义域和单调性得到以下不等式组：
\(\begin{cases}-1<a-2<1\\ -1<a^2-4<1 \\a-2<4-a^2 \end{cases}\)，解得\(\sqrt{3}<a<2\)，故选\(A\)。
分析：上述题目就是个抽象函数，其中定义域为\(|x|>1\)，且为偶函数，且在\((1，+\infty)\)上单调递增，
故由\(f(x)-f(2x-1)<0\)，等价转化为\(f(|x|)<f(|2x-1|)\)，
接下来由定义域和单调性二者限制得到，
\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.\)
上式等价于\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.\)
解①得到，\(x<-1\)或\(x>1\)；
解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到\(x<-\cfrac{1}{3}\)或\(x>1\)；
二者求交集得到，\(x<-1\)或\(x>1\)，
即实数\(x\)的取值范围是\((-\infty，-1)\cup(1，+\infty)\)。
分析：先用赋值法确定函数的奇偶性，
令\(m=n=0\)，得到\(f(0)+f(0-0)=f(0)\)，则\(f(0)=0\)，
再令\(n=0\)，得到\(f(m)+f(-m)=f(0)=0\)，即\(f(-m)=-f(m)\)，
即函数\(f(x)\)为奇函数，故由\(f(1)=-1\)，得到\(f(-1)=1\)，
这样原不等式\(-1\leq f(x-1)\leq 1\)可变形为\(f(1)\leq f(x-1)\leq f(-1)\)，
又由于函数\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递减，
则去掉对应法则的符号得到，\(-1\leq x-1\leq 1\)，
解得\(0\leq x\leq 2\)，故选\(C\)。
分析：由函数的组成部分来推到整体函数的性质，
由于\(y=x\)是奇函数，\(y=f(x)\)是奇函数，故\(g(x)=x\cdot f(x)\)是偶函数；
又由于奇函数\(f(x)\)在\(R\)上是增函数，
故\(f(0)=0\)，且\(x>0\)时，必有\(f(x)>0\)，且\(f(x)\)单调递增，
再者\(x>0\)时，\(y=x>0\)且单调递增，
故\(g(x)=x\cdot f(x)\)经过\((0，0)\)，且当\(x\in[0，+\infty)\)时，\(g(x)\)单调递增，
接下来利用函数\(g(x)\)的单调性比较大小。
\(a=g(-log_25.1)=g(log_25.1)\)，\(b＝g(2^{0.8})\)，\(c＝g(3)\)，
\(2<log_25.1<3\)，\(1<2^{0.8}<2\)，
故\(g(3)>g(log_25.1)>g(2^{0.8})\)，即\(c>a>b\)，故选\(C\)。
【解后反思】：本题目的难点其一是要能想到利用组成部分的性质推导整体函数的性质。
其二利用函数\(f(x)\)的奇偶性、单调性和定义域来推导\(x>0\)时，\(f(x)>0\)这一性质，以便于下一步应用。
分析：由\(|x|-1>0\)得到定义域\((-\infty，-1)\cup (1，+\infty)\)；
由于\(y=\ln(|x|-1)\)为偶函数，\(y=-log_{0.5}(x^2+1)\)为偶函数，【两个组成部分】所以\(f(x)\)为偶函数；【整体】
以下主要讨论单调性，先考虑\(x>1\)的情形，
由于\(x>1\)时\(f(x)=\ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)\)，
其中\(y=\ln(x-1)\)在区间\((1，+\infty)\)上单调递增，\(y=log_{0.5}(x^2+1)\)在区间\((1，+\infty)\)上单调递减，
故\(f(x)=\ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)\)区间\((1，+\infty)\)上单调递增，
又由于其为偶函数，这样可知\((-\infty，-1)\)上单调递减，
由不等式\(f(x)-f(2x-1)<0\)等价于\(f(|x|)<f(|2x-1|)\)，其在区间\((1，+\infty)\)上单调递增，
由定义域和单调性二者限制得到，\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.\)
上式等价于\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.\)
解①得到，\(x<-1\)或\(x>1\)；
解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到\(x<-\cfrac{1}{3}\)或\(x>1\)；
二者求交集得到，\(x<-1\)或\(x>1\)，故选\(D\)。
分析：本题中的题眼是在\((0，+\infty)\)上\(f'(x)<x\)，这句话是构造函数的关键所在。
解析：由题目“在\((0，+\infty)\)上\(f'(x)<x\)”，构造函数\(g(x)=f(x)-\cfrac{1}{2}x^2\)，
则在\((0，+\infty)\)上\(g'(x)=f'(x)-x<0\)，\(g(x)\)单调递减，
又由于\(f(-x)+f(x)=x^2\)，改写为\(f(-x)-\cfrac{1}{2}(-x)^2+f(x)-\cfrac{1}{2}(x)^2=0\)，
即就是\(g(-x)+g(x)=0\)，即函数\(g(x)\)为定义在\(R\)上的奇函数，
则\((-\infty，0)\)上单调递减，所以函数\(g(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递减。
又由于\(f(4-m)-f(m)\ge 8-4m\)，等价于\(f(4-m)-\cfrac{1}{2}(4-m)^2 \ge f(m)-\cfrac{1}{2}m^2\)，
也等价于\(g(4-m)\ge g(m)\)，所以\(4-m\leq m\)，解得\(m \ge 2\)，
即\(m\in [2，\infty)\).
分析：本题目容易求出\(f(-\cfrac{5}{2})=f(-0.5)=-f(0.5)=-2\)，难点是求\(f(1)\)的值；
由已知可知函数满足\(f(x+2)=f(x)，f(x)=-f(-x)\)，联立可得到\(f(x+2)=-f(-x)\)，
再赋值\(x=-1\)可得，\(f(-1+2)=-f(1)\)，即\(2f(1)=0\)，所以\(f(1)=0\)。则\(f(-\cfrac{5}{2})+f(1)=-2\)。
分析：由\(a，b\)为正实数，函数\(y=ax^3\)和\(y=bx\)及\(y=2^x\)都在\([-1，1]\)上单调递增，
故\(f(x)=ax^3+bx+2^x\)在\([-1，1]\)上单调递增，
则\(f(x)_{max}=f(1)=4\)，\(f(x)_{min}=f(-1)=?\)；
又\(f(x)-2^x=ax^3+bx=g(x)\)，则新定义的函数\(g(x)\)为奇函数，故满足\(g(-1)+g(1)=0\)，
又\(f(1)-2=g(1)\)，\(f(-1)-2^{-1}=g(-1)\)，故有\(f(1)-2+f(-1)-\cfrac{1}{2}=0\)，从而求得\(f(-1)=-\cfrac{3}{2}=f(x)_{min}\)。
资料解法：由\(f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)\)和奇函数\(f(-x)=-f(x)\)，
可得到\(f(\cfrac{3}{2}+x)=-f(x)\)，即\(T=3\) ; 周期性
\(f(2015)=f(3\times 672-1)=f(-1)=-f(1)\)，
又由\(0<x\leq \cfrac{3}{2}\)时，\(f(x)=log_2(3x+1)\)，
可得\(f(2015)=-f(1)=-2\)。故选\(B\);
解后反思：这个题目其实是有问题的，理由如下：
由\(f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)\)和奇函数\(f(-x)=-f(x)\)，
可得到\(f(\cfrac{3}{2}+x)=-f(x)\)，即\(T=3\) ;
则\(f(2015)=f(3\times 671+2)=f(2)\)，
由\(f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)\)可得，
\(f(2)=f(\cfrac{3}{2}+\cfrac{1}{2})=f(-\cfrac{1}{2})=-f(\cfrac{1}{2})\)
\(=-log_2(3\times \cfrac{1}{2}+1)=-log_2\cfrac{5}{2}\neq -2\)，故没有选项可供选择。
那么哪一个解法对呢？其实本身是这个题目有问题。分析如下：
\(f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)\)，说的是函数的对称性，其对称轴是直线\(x=\cfrac{3}{4}\)，
又给定函数满足\(0<x\leq \cfrac{3}{2}\)时，\(f(x)=log_2(3x+1)\)，
可以看出来在\((0，\cfrac{3}{2}]\)上单调递增，
这样的两条性质是不可能同时成立的。
①\(f(x)+f(-x)=0\)；②\(f(x)=f(x+2)\)；③当\(0\leq x<1\)时，\(f(x)=2^x-1\)，
则\(f(\cfrac{1}{2})+f(1)+f(\cfrac{3}{2})+f(2)+f(\cfrac{5}{2})\)的值是_________。
分析：由①知，函数为奇函数，在利用③先做出\([0，1)\)上的图像，
再利用奇函数，做出\((-1，0]\)上的图像，一个周期基本完成，就差端点值\(f(-1)\)和\(f(1)\)的值未确定；
难点是求\(f(1)\)的值，可以通过以下几个思路求解，
法1：图像法，假设\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，则\(f(-1)=-\cfrac{1}{2}\)，奇偶性是说的通的，
但是周期性不满足，因为向右平移一个周期后，元素\(1\)对应\(\cfrac{1}{2}\)，还对应\(-\cfrac{1}{2}\)，
出现了一对多，不是函数了，故只能有\(f(1)=0\)，即也有\(f(-1)=0\)，
这样在一个周期上奇偶性和周期性都是满足的。
法2：题中没有明确告诉，但是由①②可知，
\(f(x+2)=-f(-x)\)，即\(f(x+2)+f(-x)=0\)，即对称中心是\((1，0)\)，
这时要么函数在\((1，0)\)处没有定义，这个不满足题意；
要么必有\(f(1)=0\)，则\(f(-1)=0\)；其余就好处理了。
法3：赋值法，由\(f(x)+f(-x)=0\)，令\(x=1\)，得到\(f(1)+f(-1)=0\)①，
令\(x=-1\)，由\(f(x)=f(x+2)\)得到，\(f(-1)=f(1)\)②，
故有\(f(1)=f(-1)=0\)，
在此基础上，做出函数的大致图像，可知\(f(1)=f(2)=f(0)=0\)，
\(f(\cfrac{3}{2})+f(\cfrac{5}{2})=0\)，\(f(\cfrac{1}{2})=\sqrt{2}-1\)，
故\(f(\cfrac{1}{2})+f(1)+f(\cfrac{3}{2})+f(2)+f(\cfrac{5}{2})=\sqrt{2}-1\)。
分析：构造函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，则\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}<0\)，
故\(x>0\)时，函数\(g(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递减，
又函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)为偶函数(奇/奇)，故\(g(-x)=g(x)\)，
\(a=25f(0.2^2)=\cfrac{f(0.04)}{0.04}=g(0.04)\)，\(b=f(1)=\cfrac{f(1)}{1}=g(1)\)；
\(c=-log_53\times f(log_{\frac{1}{3}}5)=-\cfrac{1}{log_35}\times f(-log_35)=\cfrac{f(-log_35)}{-log_35}=g(-log_35)=g(log_35)\)，
由于\(0.04<1<log_35\)，函数\(g(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递减，
故\(g(0.04)>g(1)>g(log_35)\)，即\(a>b>c\)，故选\(A\)。
分析：令\(\ln19=t\)，则\(e^t=19\)，即\(e^2<e^t<e^3\)，
故\(2<t<3\)，即\(\ln19\in (2，3)\)；则\(\ln19-2\in (0，1)\)；
故\(f(\ln\cfrac{1}{19})=f(-\ln19)=f(\ln19)=f(\ln19-2)\)
\(=e^{\ln19-2}=e^{\ln19}\cdot e^{-2}=\cfrac{19}{e^2}\)，故选A。
分析：由\(f(x-\cfrac{1}{2})+f(x+1)=0\)可知，\(T=3\)，故可以将\(e^3\cdot f(2018)=1\)转化为\(e^3\cdot f(2)=1\)，
又由于偶函数的导函数为奇函数，则可将\(f(x)>f'(-x)\)转化为\(f(x)+f'(x)>0\)，
故定义\(g(x)=e^x\cdot f(x)\)，则\(g'(x)=e^x[f(x)+f'(x)]>0\)，故函数\(g(x)\)在\(R\)上单调递增，
又\(f(x+2)>\cfrac{1}{e^x}\)，即\(e^x\cdot f(x+2)>1\)，即\(e^x\cdot f(x+2)>e^3\cdot f(2)\)，即\(e^{x-1}\cdot f(x+2)>e^2\cdot f(2)\)，
即\(e^{x-1}\cdot f(x-1)>e^2\cdot f(2)\)，即\(g(x-1)>g(2)\)，由于函数\(g(x)\)在\(R\)上单调递增，
故可得，\(x-1>2\)，解得\(x>3\)，故选\(B\)。
分析：由\(f(x-4)=-f(x)\)，得到\(T=8\)，则\(f(2019)=f(3)\)；又在\(f(x-4)=-f(x)\)中，令\(x=3\)，则\(f(3)=-f(3-4)=-f(-1)=-(-2^{-(-1)+1})=4\)，故\(f(2019)=4\)。
①\(f(2)=0\)；
②\(x=-4\)为函数\(y=f(x)\)图像的一条对称轴；
③函数\(y=f(x)\)在区间\([8,10]\)上单调递增；
④若方程\(f(x)=m\)在区间\([-6,-2]\)上的两根为\(x_1\)，\(x_2\)，则\(x_1+x_2=-8\)；
以上命题中所有正确命题的序号为______________。
分析：由于函数\(f(x)\)为偶函数，且\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)，
令\(x=-2\)，则\(f(-2+4)=f(2)=f(-2)+f(2)\)，则\(f(-2)=0\)，即\(f(2)=0\)，故①正确，
这样由\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)，得到\(f(x+4)=f(x)\)，即周期\(T=4\)，
结合\(x\in [0,2]\)时，\(y=f(x)\)单调递减，我们可以做出适合题意的下图，
由图就能很容易得到②正确，而③错误，由②能很容易得到④也是正确的。
综上所述，正确的代号有①②④。
另解：用数的方法推导，如函数为偶函数，则\(f(-x)=f(x)\)，又\(f(x-8)=f(x)\)，
则得到\(f(-x)=f(x-8)\)，则得到其对称轴为\(x=-4\)，其实我们还可以得到更多的对称轴。
又由于\(x\in [0,2]\)时，\(y=f(x)\)单调递减，则\(x\in [8,10]\)时，\(y=f(x)\)单调递减，故③错误；
又由于函数在\([-6，-2]\)上是关于\(x=-4\)对称的，故方程\(f(x)=m\)在区间\([-6,-2]\)上的两根为\(x_1\)，\(x_2\)也是关于\(x=-4\)对称，
故\(\cfrac{x_1+x_2}{2}=-4\)，故\(x_1+x_2=-8\)，故④正确。
综上所述，正确的代号有①②④。
解析: 因为 \(f(x)\) 是定义在 \(R\) 上的奇函数， 所以\(f(x)=-f(-x)\)，又已知 \(f(2-x)=f(x)\)， 即\(f(2-x)\)\(=\)\(-f(-x)\)， 所以 \(f(2+x)\)\(=\)\(-f(x)\)，所以 \(f(4+x)\)\(=\)\(-f(2+x)\)\(=\)\(f(x)\)， 所以 \(f(x)\) 的最小正周期是 \(4\) ， 故 \(B\) 错误；
这样，\(f(2021)\)\(=\)\(f(505\times4+1)\)\(=\)\(f(1)\)\(=\)\(1\)， 故 \(A\) 错误；
因为当 \(x\in[0，1]\) 时， \(f(x)=x^{3}\)， \(f(x)\) 是定义在 \(R\) 上的奇函数， 所以当 \(x\in[-1,1]\) 时， \(f(x)\)\(=\)\(x^{3}\)，当 \(x\)\(\in\)\((1,3)\) 时， \(2-x\)\(\in\)\((-1,1)\)， \(f(x)\)\(=\)\(f(2-x)\)\(=\)\((2-x)^{3}\)， 故 \(C\) 错误；
因为当 \(x\)\(\in\)\((0,2)\) 时， \(f(x)\)\(>\)\(0\)， \(f(x)\) 的最小正周期是 \(4\) ， 所以 \(f(x)\)\(>\)\(0\) 的解集为 \((4k, 4k+2)\)\((k\)\(\in\)\(Z)\)， 故 \(D\) 正确.
分析：对于选项\(A\)，考查函数的奇偶性判断；
利用定义求解如下：由于\(f(-x)=(-x)^2-2(-x)\cos(-x)=x^2+2x\cos x\)，则\(f(-x)\neq \pm f(x)\)，故是非奇非偶函数；
利用奇偶性的推论求解如下：函数\(y=x^2\)为偶函数，\(y=-2x\cdot\cos x\)为奇函数，故\(f(x)\)是非奇非偶函数，故\(A\)错误；
对于选项\(B\)，考查函数的最值的求解方法；
利用变形转化求解如下：由于\(x^2+1=2x\cos x\)有解，则\(x+\cfrac{1}{x}=2\cos x\)有解，
\(x+\cfrac{1}{x}\geqslant 2\)，当且仅当\(x=1\)时取到等号；但此时\(2\cos x=2\cos1<2\)，
故左右不相等，即方程\(x+\cfrac{1}{x}=2\cos x\)无解，故\(B\)错误；
利用图像法求解如下：\(x^2-2x\cos x\geqslant -1\)有解，即\(y=x^2+1\)与函数\(y=2x\cos x\)图像有交点，
手动作图，大致能分析出两个函数图像无交点，故\(B\)错误[下下之选]；
对于选项\(C\)，考查函数的零点的求解方法[注意各种方法在一个题目中的组合使用]；\(f(x)=x(x-2cosx)\)；
则由解方程法[方法1]得到一个零点\(x=0\)，接下来求\(g(x)=x-2\cos x\)的零点个数，采用图像法[方法2]，
做出图像可知，此时只有一个交点，即函数\(g(x)\)有一个零点，故共有\(2\)个零点，故\(C\)错误；
对于选项\(D\)，考查函数的极值点的求解；
由题可知\(f'(x)=0\)有无数个穿根零点[朝三角变换上想，注意不是相切零点]，
则\(2x-2\cos x+2x\sin x=0\)有无穷多个解，即\(x(1+\sin x)=\cos x\)，
也即\(x=\cfrac{\cos x}{1+\sin x}\)，而右端\(\cfrac{\cos x}{1+\sin x}=\tan(\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{x}{2})\)，
关于\(\cfrac{\cos x}{1+\sin x}=\tan(\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{x}{2})\)变形过程，有空整理；
而函数\(y=x\)和函数\(y=\tan(\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{x}{2})\)图像有无穷多个交点[非相切]，故选\(D\)；
补充思路，当\(\sin x=-1\)时，刚好\(\cos x=0\)，故\(x(1+\sin x)=\cos x\)成立，有无穷多个解；
解后反思：相切零点的例子，比如\(y=1\)和\(y=\cos x\)的图像，所以对于函数\(g(x)=x-\sin x\)而言，
虽说导函数\(g'(x)=1-\cos x\)有无穷多个零点[都是相切零点，不是穿根零点]，但没有一个能成为极值点的。
上例，说明对称+对称推出周期
