函数性质的综合应用习题2-01

前情概要

函数性质[函数的性质的综合应用主要涉及单调性、奇偶性、对称性、周期性的综合应用]的综合应用，是模考和高考中常见的题型。要想顺利解决这类题目，需要我们清楚函数的各种性质的常见给出方式，理解其组合方式和常用的思维模式，现举例说明如下：

应用类型

利用函数的性质，我们可以求解函数的解析式，可以比较函数值的大小，可以解抽象函数不等式和具体函数不等式；

典例剖析

【2017年宝鸡市二检】【函数性质逐条给出】已知定义在$R$上的函数$y=f(x)$满足以下条件：

①对任意的$x\in R$，都有$f(x+2)=f(x-2)$；

②函数$y=f(x+2)$是偶函数；

③当$x\in(0，2]$时，$f(x)=e^x-\cfrac{1}{x}$，

若已知$a=f(-5)$，$b=f(\cfrac{19}{2})$，$c=f(\cfrac{41}{4})$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是【$\qquad$】

$A.b < a < c$ $B.c < a < b$ $C.c < b < a$ $D.a < b < c$

分析：本题目是函数各种性质综合应用的典型题目，如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉，

那么由①可知，函数满足$f(x+4)=f(x)$，其周期是$4$；

由②可知$y=f(x)$的对称轴是$x=2$，可以表达为$f(x+4)=f(-x)$，

那么在结合$f(x+4)=f(x)$，可知$f(-x)=f(x)$，则函数$f(x)$还是偶函数；

由③借助导数工具(或者增+增=增)可得，函数$f(x)$在区间$(0，2]$上单调递增，

有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性，就可以轻松的解决题目中的大小比较了。

$a=f(-5)\xlongequal{周期性}f(-1)\xlongequal{奇偶性}f(1)$；

$b=f(\cfrac{19}{2})\xlongequal{周期性}f(\cfrac{3}{2})=f(1.5)$；

$c=f(\cfrac{41}{4})\xlongequal{周期性}f(2+\cfrac{1}{4})\xlongequal{已知表达式}f(\cfrac{1}{4}-2)\xlongequal{偶函数}f(2-\cfrac{1}{4})=f(1.75)$；

由$f(x)$在区间$(0，2]$上$\nearrow$，$1<1.5<1.75$， $\therefore f(1)<f(1.5)<f(1.75)$，

即$a<b<c$，故选$D$。

【2019届宝鸡理数质检Ⅲ第10题】定义在$R$上的函数$y=f(x)$满足以下三个条件：

①对于任意的$x\in R$，都有$f(x+1)=f(x-1)$；

②函数$y=f(x+1)$的图像关于$y$轴对称；

③对于任意的$x_1，x_2\in [0，1]$，都有$[f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0$；

则$f(\cfrac{3}{2})$、$f(2)$、$f(3)$的大小关系是【$\qquad$】

$A.f(\cfrac{3}{2})>f(2)>f(3)$

$B.f(3)>f(2)>f(\cfrac{3}{2})$

$C.f(\cfrac{3}{2})>f(3)>f(2)$

$D.f(3)>f(\cfrac{3}{2})>f(2)$

分析：本题目考查函数的各种性质的综合运用，其中主要涉及的是函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性；

由①可知，函数的周期为$T=2$，故可以简化其中的两项，$f(2)=f(0)$，$f(3)=f(1)$；

由②，通过图像的平移，可知函数$y=f(x)$的对称轴为直线$x=1$，即函数满足条件$f(x)=f(2-x)$，再赋值得到，$f(\cfrac{3}{2})=f(2-\cfrac{3}{2})=f(\cfrac{1}{2})$；

由③可知函数$f(x)$在区间$[0，1]$上单调递增，由于$1>\cfrac{1}{2}>0$，故$f(1)>f(\cfrac{1}{2})>f(0)$，即满足$f(3)>f(\cfrac{3}{2})>f(2)$，故选$D$。

【2018高考真题全国卷二卷文科第12题】已知函数$f(x)$是定义在$(-\infty，+\infty)$上的奇函数，满足$f(1-x)=f(1+x)$，若$f(1)=2$，则$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=$【$\qquad$】

$A.-50$ $B.0$ $C.2$ $D.50$

分析：先将奇函数性质改写为，$f(x)=-f(-x)①$；

再将对称性$f(1-x)=f(1+x)$改写为$f(2-x)=f(x)②$，

由①②式可知，$f(2-x)=-f(-x)$，即$f(2+x)=-f(x)$，故$T=2\times 2=4$，

这样$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)$，接下来就是重点求这些函数值；

由于函数是定义在$R$上的奇函数，故$f(0)=0$，则$f(4)=f(4-4)=f(0)=0$，

令$x=0$，则由$f(2-x)=-f(-x)$可得到$f(2-0)=-f(-0)=f(0)=0$，即$f(2)=0$，

$f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2$，故$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0$，

即所求$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)$

$=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)$

$=f(1)+f(2)=2$，故选C

备注：本题目实际上考查的是正弦函数模型。

【2021届高三理科定时训练1】已知偶函数$y=f(x)(x\in R)$在区间$[-1,0]$上单调递增，且满足$f(1-x)$$+$$f(1+x)$$=$$0$，给出下列判断：

①$f(5)=0$；②$f(x)$在区间$[1,2]$上是减函数；③函数$f(x)$没有最小值；

④函数$f(x)$在$x=0$处取得最大值；⑤$f(x)$的图像关于直线$x=1$对称；

其中正确的序号是_____________.

分析：本题目是函数性质综合应用的典型例题，由于函数满足$f(1-x)+f(1+x)=0$，即$f(2-x)+f(x)=0$；

又由于$f(-x)=f(x)$，则得到$f(2-x)=-f(-x)$，即$f(2+x)=-f(x)$，故周期$T=4$；

在$f(1-x)+f(1+x)=0$中，令$x=0$，则得到$2f(1)=0$，即$f(1)=0$，又$f(5)=f(1)=0$，故①正确；

又由于$f(-x)=f(x)$，则$f(-1)=f(1)=0$，则由函数在$[-1,0]$上单调递增，故由偶函数可知在$[0,1]$上单调递减，

又由于$f(1-x)+f(1+x)=0$，即函数$f(x)$图像关于点$(1,0)$对称，故函数在$[1,2]$上单调递减，故②正确；

又由于周期为$T=4$，故函数在$[2,3]$上单调递增，且$f(3)=0$，故函数有最小值，即③错误；

函数$f(x)$在$x=0$处取到最大值，故④正确；显然函数的图像应该关于点$(1,0)$对称，而不是关于直线$x=1$对称，故⑤错误；

综上所述，其中正确的序号是①②④；

【函数性质涵盖在解析式中】【2017$\cdot$榆林模拟】函数$f(x)=\ln\cfrac{1+x}{1-x}+\sin{x}$，则不等式$f(a-2)+f(a^2-4)<0$的解集是【$\qquad$】

$A.(\sqrt{3}，2)$ $B.(-3，2)$ $C.(1，2)$ $D.(\sqrt{3}，\sqrt{5})$

分析：这类题目往往需要取得符号$f$，而在此之前，需要转化为$f(M)<( 或>)f(N)$的形式，

然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。

解析：先求定义域，令$\cfrac{1+x}{1-x}>0$，解得定义域$(-1，1)$；

再求奇偶性，$f(-x)=\ln\cfrac{1-x}{1+x}-\sin x$，$f(x)=\ln\cfrac{1+x}{1-x}+\sin x$，所以$f(-x)+f(x)=0$，故函数为奇函数；

最后分析单调性，

法一，基本函数法，令$g(x)=\ln\cfrac{1+x}{1-x}=\ln(-1-\cfrac{2}{x-1})$，由于$u=-1-\cfrac{2}{x-1}$为增函数，

所以函数$g(x)$为增函数，故函数$f(x)=g(x)+\sin x$为$(-1，1)$上的增函数，

法二，导数法，$f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+\cos x>0$，故函数$f(x)$为$(-1，1)$上的增函数，到此需要的性质基本备齐了，

由$f(a-2)+f(a^2-4)<0$，变换得到$f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)$，由定义域和单调性得到以下不等式组：

$\begin{cases}-1<a-2<1\\ -1<a^2-4<1 \\a-2<4-a^2 \end{cases}$，解得$\sqrt{3}<a<2$，故选$A$。

【抽象函数】【函数性质的综合应用】已知函数$f(x)$的定义域为$|x|\leq 1$的补集，且在定义域上恒有$f(-x)-f(x)=0$，若$f(x)$在$(1，+\infty)$上恒有$f'(x)>0$成立，$f(x)-f(2x-1)<0$，求实数$x$的取值范围。

分析：上述题目就是个抽象函数，其中定义域为$|x|>1$，且为偶函数，且在$(1，+\infty)$上单调递增，

故由$f(x)-f(2x-1)<0$，等价转化为$f(|x|)<f(|2x-1|)$，

接下来由定义域和单调性二者限制得到，

$\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.$

上式等价于$\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.$

解①得到，$x<-1$或$x>1$；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到$x<-\cfrac{1}{3}$或$x>1$；

二者求交集得到，$x<-1$或$x>1$，

即实数$x$的取值范围是$(-\infty，-1)\cup(1，+\infty)$。

【抽象函数】【函数性质的综合应用】已知函数$f(x)$在$(-\infty，+\infty)$上单调递减，且对任意实数$m，n$都满足$f(m)+f(n-m)=f(n)$，若$f(1)=-1$，则满足$-1\leq f(x-1)\leq 1$的$x$的取值范围是【$\qquad$】

$A.[-2，2]$ $B.[-1，1]$ $C.[0，2]$ $D.[1，3]$

分析：先用赋值法确定函数的奇偶性，

令$m=n=0$，得到$f(0)+f(0-0)=f(0)$，则$f(0)=0$，

再令$n=0$，得到$f(m)+f(-m)=f(0)=0$，即$f(-m)=-f(m)$，

即函数$f(x)$为奇函数，故由$f(1)=-1$，得到$f(-1)=1$，

这样原不等式$-1\leq f(x-1)\leq 1$可变形为$f(1)\leq f(x-1)\leq f(-1)$，

又由于函数$f(x)$在$(-\infty，+\infty)$上单调递减，

则去掉对应法则的符号得到，$-1\leq x-1\leq 1$，

解得$0\leq x\leq 2$，故选$C$。

【2017天津高考】【函数性质的综合应用】已知奇函数$f(x)$在$R$上是增函数，$g(x)＝x\cdot f(x)$．若$a＝g(-log_25.1)$，$b＝g(2^{0.8})$，$c＝g(3)$，则 $a，b，c$的大小关系为【$\qquad$】

$A.a＜b＜c$ $B.c＜b＜a$ $C.b＜a＜c$ $D.b＜c＜a$

分析：由函数的组成部分来推到整体函数的性质，

由于$y=x$是奇函数，$y=f(x)$是奇函数，故$g(x)=x\cdot f(x)$是偶函数；

又由于奇函数$f(x)$在$R$上是增函数，

故$f(0)=0$，且$x>0$时，必有$f(x)>0$，且$f(x)$单调递增，

再者$x>0$时，$y=x>0$且单调递增，

故$g(x)=x\cdot f(x)$经过$(0，0)$，且当$x\in[0，+\infty)$时，$g(x)$单调递增，

接下来利用函数$g(x)$的单调性比较大小。

$a=g(-log_25.1)=g(log_25.1)$，$b＝g(2^{0.8})$，$c＝g(3)$，

$2<log_25.1<3$，$1<2^{0.8}<2$，

故$g(3)>g(log_25.1)>g(2^{0.8})$，即$c>a>b$，故选$C$。

【解后反思】：本题目的难点其一是要能想到利用组成部分的性质推导整体函数的性质。

其二利用函数$f(x)$的奇偶性、单调性和定义域来推导$x>0$时，$f(x)>0$这一性质，以便于下一步应用。

【2019高三理科数学第二次月考第9题】【函数性质的综合应用】函数$f(x)=\ln(|x|-1)$$-log_{0.5}(x^2+1)$，则使得不等式$f(x)-f(2x-1)<0$成立的$x$的取值范围是【$\qquad$】

$A.(1，+\infty)$ $B.(-\infty，-\cfrac{1}{3})$ $C.(-\infty，-\cfrac{1}{3})\cup (1，+\infty)$ $D.(-\infty，-1)\cup (1，+\infty)$

分析：由$|x|-1>0$得到定义域$(-\infty，-1)\cup (1，+\infty)$；

由于$y=\ln(|x|-1)$为偶函数，$y=-log_{0.5}(x^2+1)$为偶函数，【两个组成部分】所以$f(x)$为偶函数；【整体】

以下主要讨论单调性，先考虑$x>1$的情形，

由于$x>1$时$f(x)=\ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)$，

其中$y=\ln(x-1)$在区间$(1，+\infty)$上单调递增，$y=log_{0.5}(x^2+1)$在区间$(1，+\infty)$上单调递减，

故$f(x)=\ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)$区间$(1，+\infty)$上单调递增，

又由于其为偶函数，这样可知$(-\infty，-1)$上单调递减，

由不等式$f(x)-f(2x-1)<0$等价于$f(|x|)<f(|2x-1|)$，其在区间$(1，+\infty)$上单调递增，

由定义域和单调性二者限制得到，$\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.$

上式等价于$\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.$

解①得到，$x<-1$或$x>1$；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到$x<-\cfrac{1}{3}$或$x>1$；

二者求交集得到，$x<-1$或$x>1$，故选$D$。

设函数$f(x)$在$R$上存在导数$f'(x)$，$\forall x\in R$，都有$f(-x)+f(x)=x^2$，在$(0，+\infty)$上$f'(x)<x$，若$f(4-m)-f(m)\ge 8-4m$，则实数$m$的取值范围是多少？

分析：本题中的题眼是在$(0，+\infty)$上$f'(x)<x$，这句话是构造函数的关键所在。

解析：由题目“在$(0，+\infty)$上$f'(x)<x$”，构造函数$g(x)=f(x)-\cfrac{1}{2}x^2$，

则在$(0，+\infty)$上$g'(x)=f'(x)-x<0$，$g(x)$单调递减，

又由于$f(-x)+f(x)=x^2$，改写为$f(-x)-\cfrac{1}{2}(-x)^2+f(x)-\cfrac{1}{2}(x)^2=0$，

即就是$g(-x)+g(x)=0$，即函数$g(x)$为定义在$R$上的奇函数，

则$(-\infty，0)$上单调递减，所以函数$g(x)$在$(-\infty，+\infty)$上单调递减。

又由于$f(4-m)-f(m)\ge 8-4m$，等价于$f(4-m)-\cfrac{1}{2}(4-m)^2 \ge f(m)-\cfrac{1}{2}m^2$，

也等价于$g(4-m)\ge g(m)$，所以$4-m\leq m$，解得$m \ge 2$，

即$m\in [2，\infty)$.

【2016$\cdot$四川高考】已知函数$f(x)$是定义在$R$上的周期为2的奇函数，当$0<x<1$时，$f(x)=4^x$，则$f(-\cfrac{5}{2})+f(1)$的值是多少？

分析：本题目容易求出$f(-\cfrac{5}{2})=f(-0.5)=-f(0.5)=-2$，难点是求$f(1)$的值；

由已知可知函数满足$f(x+2)=f(x)，f(x)=-f(-x)$，联立可得到$f(x+2)=-f(-x)$，

再赋值$x=-1$可得，$f(-1+2)=-f(1)$，即$2f(1)=0$，所以$f(1)=0$。则$f(-\cfrac{5}{2})+f(1)=-2$。

已知$a，b$为正实数，函数$f(x)=ax^3+bx+2^x$在$[0，1]$上的最大值为$4$，则函数$f(x)$在$[－1，0]$上的最小值为【$\qquad$】

$A.-\cfrac{3}{2}$ $B.\cfrac{3}{2}$ $C.-2$ $D.2$

分析：由$a，b$为正实数，函数$y=ax^3$和$y=bx$及$y=2^x$都在$[-1，1]$上单调递增，

故$f(x)=ax^3+bx+2^x$在$[-1，1]$上单调递增，

则$f(x)_{max}=f(1)=4$，$f(x)_{min}=f(-1)=?$；

又$f(x)-2^x=ax^3+bx=g(x)$，则新定义的函数$g(x)$为奇函数，故满足$g(-1)+g(1)=0$，

又$f(1)-2=g(1)$，$f(-1)-2^{-1}=g(-1)$，故有$f(1)-2+f(-1)-\cfrac{1}{2}=0$，从而求得$f(-1)=-\cfrac{3}{2}=f(x)_{min}$。

【2017天津一中月考】已知定义在$R$上的奇函数$f(x)$满足$f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)$，且当$0<x\leq \cfrac{3}{2}$时，$f(x)=log_2(3x+1)$，则$f(2015)$=【$\qquad$】

$A.-1$ $B.-2$ $C.1$ $D.2$

资料解法：由$f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)$和奇函数$f(-x)=-f(x)$，

可得到$f(\cfrac{3}{2}+x)=-f(x)$，即$T=3$ ; 周期性

$f(2015)=f(3\times 672-1)=f(-1)=-f(1)$，

又由$0<x\leq \cfrac{3}{2}$时，$f(x)=log_2(3x+1)$，

可得$f(2015)=-f(1)=-2$。故选$B$;

解后反思：这个题目其实是有问题的，理由如下：

由$f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)$和奇函数$f(-x)=-f(x)$，

可得到$f(\cfrac{3}{2}+x)=-f(x)$，即$T=3$ ;

则$f(2015)=f(3\times 671+2)=f(2)$，

由$f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)$可得，

$f(2)=f(\cfrac{3}{2}+\cfrac{1}{2})=f(-\cfrac{1}{2})=-f(\cfrac{1}{2})$

$=-log_2(3\times \cfrac{1}{2}+1)=-log_2\cfrac{5}{2}\neq -2$，故没有选项可供选择。

那么哪一个解法对呢？其实本身是这个题目有问题。分析如下：

$f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)$，说的是函数的对称性，其对称轴是直线$x=\cfrac{3}{4}$，

又给定函数满足$0<x\leq \cfrac{3}{2}$时，$f(x)=log_2(3x+1)$，

可以看出来在$(0，\cfrac{3}{2}]$上单调递增，

这样的两条性质是不可能同时成立的。

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