求函数的解析式

前言

函数的解析式是函数的重要性质之一，要研究函数，我们往往需要以函数的解析式为依托和切入，如果知道了函数的解析式，那么我们也许通过观察就能很快发现函数的一些简单的性质，比如$f(x)=x+x^3$，看到这个解析式，我们就能知道函数的定义域和值域都是$R$，是奇函数，是单调递增函数，过点$(0，0)$等。所以我们必须切实掌握求函数的解析式的常用方法。对常用的基本方法详细说明如下：

\[\textbf{求函数的解析式}\left\{\begin{array}{l}\textbf{待定系数法[常规考法]}\rightarrow\textbf{解方程}\\\textbf{方程组法[常规考法]}\rightarrow\textbf{解方程组}\\\textbf{换元法(代数+三角)[常规考法]}\rightarrow\textbf{反解}x\textbf{代入}\\\textbf{配凑法[常规考法]}\rightarrow\textbf{等价变形}\\\textbf{奇偶性或周期性法[新考法]}\rightarrow\textbf{利用函数性质}\end{array}\right. \]

注意事项

定义域优先原则也适用求解析式

已知函数$f(x)$满足$f(\cfrac{2}{x+|x|})=log_2 {\sqrt{x|x|}}$，求函数解析式$f(x)$

分析：本题目主要考察对题目隐含条件的挖掘能力，本题目乍一看似乎很生猛，

但是如果有定义域优先的意识，注意到右端真数位置的$\sqrt{x|x|}$，

应该知道定义域$x\in(0，+\infty)$，这样所给的解析式就能很快化简了。

即$f(\cfrac{2}{x+|x|})=f(\cfrac{2}{2x})=f(\cfrac{1}{x})=log_2 {\sqrt{x|x|}}=log_2 x$，

即$f(\cfrac{1}{x})=log_2 x(x>0)$，做代换令$\cfrac{1}{x}=t(t>0)$，

则$f(t)=log_2 \cfrac{1}{t}=-log_2 t(t>0)$，

故所求的$f(x)=-log _2 x (x>0)$。

配凑法

操作说明：在等号的右端配凑出关于自变量整体的代数式，然后做代换。

已知函数$f(x)$满足条件 $f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}$，求$f(x)$的解析式；

分析： $f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}=(\sqrt{x}+1)^2-1$，

注意右端需要配凑出以$\sqrt{x}+1$为整体变量的代数式，以便于下一步的代换，到此配凑工作结束；

令$\sqrt{x}+1=t$，则新元$\quad$ $t\ge 1$，故解析式为$f(t)=t^2-1(t\ge 1)$，

再将自变量替换为我们适应的$x$，则所求的解析式为$f(x)=x^2-1(x\ge 1)$。

其余参阅配凑法；

换元法

操作说明：将未知的或无法掌握的解析式问题转化为已知的解析式问题。

【代数换元】求函数$f(x)=4^x+3\cdot 2^x+1$的值域。

分析：注意到函数的结果特点，做代数换元令$2^x=t>0$，

则原函数就转化为$f(x)=g(t)=t^2+3t+1，t\in(0，+\infty)$上的值域；

【三角换元】求函数$f(x)=x+\sqrt{1-x^2}$的值域。

分析：求定义域得到$x\in[-1，1]$，故做三角换元令$x=cos\theta,\theta\in[0，\pi]$，

则函数$f(x)=x+\sqrt{1-x^2}$$=cos\theta+\sqrt{1-cos^2\theta}$$=cos\theta+|sin\theta|$

$=sin\theta+cos\theta$$=\sqrt{2}sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})\in[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，

故函数的值域为$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$。

其余参阅换元法；

待定系数法

操作说明：适用于已知函数的类型，比如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；

已知二次函数$f(x)$满足$f(2)=-1$，$f(-1)=-1$，且$f(x)$的最大值是$8$，试确定此二次函数的解析式。

法1：一般式，设$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)$，

由题意得$\begin{cases}4a+2b+c=-1\\a-b+c=-1\\ \cfrac{4ac-b^2}{4a}=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-4\\b=4\\c=7\end{cases}$，

故$f(x)=-4x^2+4x+7$。

法2：顶点式，设$f(x)=a(x-m)^2+n$，由题意得$n=8$，又$f(2)=f(-1)$，

故函数的对称轴是$x=\cfrac{2+(-1)}{2}=\cfrac{1}{2}$，故$m=\cfrac{1}{2}$。

则$y=f(x)=a(x-\cfrac{1}{2})^2+8$，

又$f(2)=-1$，$a(2-\cfrac{1}{2})^2+8=-1$，

解得$a=-4$，故$f(x)=-4x^2+4x+7$。

法3：两根式(零点式)，由已知$f(x)+1=0$的两根$x_1=2$，$x_2=-1$，

故可设$f(x)+1=a(x+1)(x-2)$，即$f(x)=ax^2-ax-2a-1$，

又函数$f(x)_{max}=8$，即$\cfrac{4a(-2a-1)-a^2}{4a}=8$，

解得$a=-4$或$a=0(舍去)$，故$f(x)=-4x^2+4x+7$。

方程组法

操作说明：适用于两个自变量整体的积或者和为定值的情形

若函数$f(x)$满足$f(x)+2f(1-x)=x$，则$f(x)$的解析式为__________.

分析：方程组法，用$1-x$替换原方程中的$x$,得到$f(1-x)+2f(x)=1-x$，

联立两式，则有$\begin{cases}f(x)+2f(1-x)=x\\f(1-x)+2f(x)=1-x\end{cases}$，

解以$f(x)$和$f(1-x)$为元的二元一次方程组，

解得$f(x)=\cfrac{2}{3}-x$;

若函数$f(x)$满足$f(x)+2f(2-x)=x$，则$f(x)$的解析式为__________.

分析：方程组法，用$2-x$替换原方程中的$x$,得到$f(2-x)+2f(x)=2-x$，联立两式，解得$f(x)=?$;

其余参阅方程组法求解析式；

奇偶性法

利用奇偶性求解析式，备注：近年高考的热点，最好不要掌握简洁方式，要老实掌握解析式的求法；

【2017全国卷2，文科第14题高考真题】已知函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，$x <0$时，$f(x)=2x^3+x^2$，求$f(2)$的值；

法1：当$x >0$时，$-x <0$，$f(-x)=-2x^3+x^2$，

又函数是奇函数，故$f(x)=-f(-x)=2x^3-x^2$，

即$x >0$时的解析式$f(x)=2x^3-x^2$；又$f(0)=0$

故解析式为$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2x^3+x^2，x\leqslant 0}\\{2x^3-x^2，x>0}\end{array}\right.$

故$f(2)=2\times 2^3-2^2=12$；

法2：求$f(2)$的值还可以这样做，不求解析式，利用奇偶性求值。

$f(-2)=-12$，$f(2)=-f(-2)=12$；

已知$f(x)$，$g(x)$分别是定义在$R$上的奇函数和偶函数，$f(x)-g(x)=x^3+x^2+1$，求$f(x)$和$g(x)$的解析式。

分析：由题目可知，奇函数满足$f(x)+f(-x)=0$，偶函数满足$g(x)=g(-x)$

又题目已知$f(x)-g(x)=x^3+x^2+1$①，

则有$f(-x)-g(-x)=-x^3+x^2+1$②，

两式相加得到，$[f(x)+f(-x)]-[g(x)+g(-x)]=2(x^2+1)$，

即$-2g(x)=2(x^2+1)$，则$g(x)=-x^2-1$，

代入①式得到，$f(x)=x^3$，

故所求解析式$f(x)=x^3$，$g(x)=-x^2-1$。

【2016全国卷Ⅲ】已知$f(x)$为偶函数，当$x\leq 0$时，$f(x)=e^{-x-1}-x$，则曲线$y=f(x)$在点$(1，2)$处的切线方程是___________。

分析：利用偶函数性质求解析式，

设$x>0$，则$-x<0$，则$f(-x)=e^{x-1}+x$，由于$f(x)$为偶函数，

所以$f(-x)=f(x)$，故$f(x)=e^{x-1}+x$，

即其解析式为$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{e^{-x-1}-x，x\leqslant 0}\\{e^{x-1}+x，x>0}\end{array}\right.$

由于$x>0$时，$f'(x)=e^{x-1}+1$，所以$f'(1)=e^{1-1}+1=2$，

所以曲线$y=f(x)$在点$(1，2)$处的切线方程为$y-2=2(x-1)$，即$2x-y=0$。

对称性法

利用对称性求解析式，备注：近年高考的热点

【函数中心对称】已知定义在R上的函数$f(x)$满足$f(1-x)+f(1+x)=2$，且当$x>1$时，$f(x)=\cfrac{x}{e^{x-2}}$，则曲线$y=f(x)$在$x=0$处的切线方程是_____。

法1：利用函数的对称性，先求$x<1$时的函数解析式。

由于$f(1-x)+f(1+x)=2$，则有$f(x)+f(2-x)=2$，

故$f(x)=2-f(2-x)$；

又当$x<1$时，$2-x>1$

即$x<1$时的解析式为$f(x)=2-f(2-x)=2-\cfrac{2-x}{e^{2-x-2}}=2-\cfrac{2-x}{e^{-x}}$，图像演示

则$f'(x)=-\cfrac{-1\cdot e^{-x}-(2-x)\cdot(-e^{-x})}{(e^{-x})^2}=-\cfrac{1-x}{e^{-x}}$

故$f'(0)=-1$，又$f(0)=0$，即切点为$(0 ,0)$，

由点斜式可得切线方程为：$y=-x$

法2：由$f(1-x)+f(1+x)=2$，得到函数$f(x)$关于点$(1，1)$中心对称；

令$x=1$，得到$f(0)+f(2)=2$，

又函数$f(x)$关于点$(1，1)$中心对称；

故$f'(0)=f'(2)$

则$f'(0)=f'(2)=f'(x)_{|x=2}=-1$，

又$f(0)=2-f(2)=0$，即切点为$(0 ,0)$，

由点斜式可得切线方程为：$y=-x$

【函数轴对称】已知定义在R上的函数$f(x)$满足$f(x)=f(2-x)$，且当$x\ge 1$时，$f(x)=(x-1)^2$，求函数$f(x)$的解析式；

分析：当$x<1$时，$2-x>1$，故有$f(2-x)=(2-x-1)^2=(x-1)^2$，

又$f(x)=f(2-x)=(x-1)^2$，

故$x<1$时，$f(x)=(x-1)^2$，

综上，$f(x)=(x-1)^2(x\in R)$。

【两个函数关于某点的对称】已知函数$f(x)$的图像与函数$h(x)=x+\cfrac{1}{x}+2$的图像关于点$A(1，0)$对称，求$f(x)$的解析式；

分析：设$f(x)$图像上任一点$P(x，y)$，则点$P$关于$(0，1)$点的对称点$P'(-x，2-y)$必在$h(x)$的图像上，

即$2-y=-x-\cfrac{1}{x}+2$，即所求解析式为$f(x)=x+\cfrac{1}{x}(x\neq 0)$。

周期性法

利用周期性求解析式，备注：冷门

函数$f(x)$的周期为2，$0< x <2$时，$f(x)=x^2$，求$2<x<4$时的解析式$f(x)$.

分析：当$2< x <4$时，$0< x-2<2$，故$f(x-2)=(x-2)^2$，

又由于$f(x)=f(x-2)$，则$f(x)=(x-2)^2$

即$2< x <4$时的解析式$f(x)=(x-2)^2$。

综合使用

【2020届凤翔中学高三理科月考一第10题】已知函数$y=f(x)$是定义在$R$上的奇函数，且满足$f(x+2)$$+$$f(x)$$=$$0$，当$x\in [-2，0]$时，$f(x)=-x^2-2x$，则当$x\in [4，6]$时，$y=f(x)$的最小值为【】

$A.-8$ $B.-1$ $C.0$ $D.1$

分析：本题目的本质是求解函数$f(x)$的解析式；属于利用函数的多个性质求解函数的解析式；

[法1]：由于$f(x+2)+f(x)=0$，即$f(x+2)=-f(x)$，故$T=4$，又$y=f(x)$是$R$上的奇函数，

故可以先利用奇偶性求得$x\in [0，2]$上的解析式；

当$x\in [0,2]$时，$f(x)=-f(-x)=-[-(-x)^2-2\times (-x)]=x^2-2x$，

再利用周期性求得$x\in [4，6]$上的解析式；

当$x\in [4,6]$时，$x-4\in [0,2]$，$f(x)=f(x-4)=(x-4)^2-2\times (x-4)=x^2-10x+24$，

接下来求解$x\in [4,6]$时函数$f(x)=x^2-10x+24$的最小值；

$f(x)=(x-5)^2-1$，$x\in [4,6]$，故$f(x)_{min}=f(5)=-1$；故选$B$；

[法2]：当求得$x\in [0,2]$时，$f(x)=-f(-x)=-[-(-x)^2-2\times (-x)]=x^2-2x$，

由于函数的周期为$4$，故函数$f(x)$在$x\in [0,2]$段上的值域和$x\in [4,6]$段上的值域相同，

故只需要求解$x\in [0,2]$时，$f(x)=x^2-2x$的最小值即可，$f(x)=(x-1)^2-1$，

故$f(x)_{min}=f(1)=-1$，故$x\in [4，6]$上的最小值也是$-1$，故选$B$;

[法3]：如果对函数的性质的数的表达形式比较熟悉，还可以这样求解如下：

由于周期为$T=4$，故有$f(x+4)=f(x)$，又由于函数为奇函数，故$f(x)=-f(-x)$，

则得到$f(x+4)=-f(-x)$，这个表达式刻画的是函数的对称性，关于点$(2,0)$成中心对称；

若$x\in[0,2]$，则此时$f(-x)$可解，且$f(x+4)$即表达函数在$x\in [4,6]$上的解析式；

故$f(x+4)=-f(-x)=-[[-(-x)^2-2\times (-x)]]=x^2-2x$，$x\in [0,2]$，

直接求$y=x^2-2x$，$x\in [0,2]$上的最小值即可，同上可知此时$y_{min}=y_{|x=1}=-1$，

故所求的最小值为$-1$，故选$B$；

其实做个代换，即能得到$x\in [4,6]$上的解析式；分析如下，

由于$f(x+4)=x^2-2x$，$x\in [0,2]$，令$x+4=t$，则$t\in [4,6]$，则$x\in t-4$

故$f(t)=(t-4)^2-2(t-4)=t^2-10t+24$，即$f(x)=x^2-10x+24$，$x\in [4,6]$；

【2020届凤翔中学高三文科资料用题】【2018上海崇明二模】设$f(x)$是定义在$R$上以$2$为周期的偶函数，当$x\in [0,1]$时，$f(x)=log_2(x+1)$，则函数$f(x)$在$[1,2]$上的解析式是___________.

法1：利用奇偶性和周期性求解；

令$x\in [-1，0]$，则$-x\in[0,1]$，则$f(-x)=log_2(-x+1)$，又由偶函数得到$f(x)=f(-x)=log_2(-x+1)$；

令$x\in [1,2]$，则$x-2\in [-1,0]$，则$f(x-2)=log_2[-(x-2)+1]=log_2(3-x)$，又由周期性得到$f(x)=f(x-2)=log_2(3-x)$；

法2：利用对称性，由$f(x+2)=f(x)$以及$f(x)=f(-x)$，得到$f(2+x)=f(-x)$，即$f(x)=f(2-x)$，

当$x\in [1,2]$时，$2-x\in [0,1]$，故$f(x)=f(2-x)=log_2[(2-x)+1]=log_2(3-x)$；

三角函数法

请参阅求正弦型函数的解析式；

实际问题中求解析式(勿忘定义域)

如图，曲边三角形中，线段$OP$是直线$y=2x$的一部分，曲线段$PQ$是抛物线$y=-x^2+4$的一部分．矩形$ABCD$的顶点分别在线段$OP$，曲线段$PQ$和$y$轴上．设点$A(x，y)$，记矩形$ABCD$的面积为$f(x)$．求函数$f(x)$的解析式并指明定义域；

分析：结合两点距离公式和面积公式写出面积解析式；由题可知，点$A(x，2x)(x>0)$，点$B(x，-x^2+4)$，

故$|AD|=x$，$|AB|=-x^2-2x+4$，

则可知矩形$ABCD$的面积为$f(x)=|AD|\cdot |AB|=x\cdot (-x^2-2x+4)=-x^3-2x^2+4x$．

令$2x=-x^2+4$，解得$x=\pm\sqrt{5}-1$，舍去负值，即$x=\sqrt{5}-1$，即定义域为$0<x<\sqrt{5}-1$，

故函数$f(x)$的解析式为$f(x)=-x^3-2x^2+4x(0<x<\sqrt{5}-1)$。

【2018豫东豫北十所名校联考】根据如下样本数据：

$x$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$y$	$4.0$	$a-5.4$	$-0.5$	$0.5$	$b-0.6$

得到的回归直线方程为$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，若样本点的中心为$(5，0.9)$，则当$x$每增加1个单位，$y$就【$\quad$】

$A.$ 增加$1.4$个单位；

$B.$ 减少$1.4$个单位；

$C.$ 增加$7.9$个单位；

$D.$ 减少$7.9$个单位；

分析：由题意可知，$\cfrac{a+b-2}{5}=0.9$，即$a+b=6.5$①，

有样本中心点为$(5，0.9)$在回归直线上，则$0.9=5b+a$②，

联立①②，解得$b=-1.4$，$a=7.9$，

则回归直线方程为$\hat{y}=-1.4x+7.9$。

故可知则当$x$每增加1个单位，$y$就减少1.4个单位；故选$B$。

易错题目

若函数$f(x)=\cfrac{x}{ax+b}(a\neq 0)$，$f(2)=1$，又方程$f(x)=x$有唯一解，求$f(x)$的解析式。

法1：从数的角度分析，由$f(2)=1$，得到$\cfrac{2}{2a+b}=1$，即$2a+b=2$；

由$f(x)=x$，得到$\cfrac{x}{ax+b}=x$，变形得到$x(\cfrac{1}{ax+b}-1)=0$，

解此方程得到，$x=0$或$x=\cfrac{1-b}{a}$，又由于方程有唯一解，故$\cfrac{1-b}{a}=0$，

解得$b=1$，代入$2a+b=2$得到$a=\cfrac{1}{2}$，

再将$x=0$代入方程$\cfrac{x}{ax+b}=x$检验，发现此时要方程有意义，必须$b\neq 0$，

故上述的解法可能丢失了$b=0$的情形，当$b=0$时，代入$2a+b=2$，得到$a=1$，

代入验证也满足题意，故$a=\cfrac{1}{2}$且$b=1$或者$a=1$且$b=0$

综上所述，$f(x)=\cfrac{2x}{x+2}$或者$f(x)=\cfrac{x}{1\cdot x+0}=1$。

法2：从形的角度分析，图形解释如下。