函数对称性的应用及判断

前言

当你学习了本篇博文后,如果感觉还需要深入学习,可以阅读函数的对称性习题

常见结论

  • 注意:此时只涉及一个函数,是函数自身具有的对称性,而不是两个函数之间的对称;

1、若函数\(y=f(x)\)关于原点\((0,0)\)对称,则\(f(-x)=-f(x)\)\(f(x)+f(-x)=0\),反之亦成立;

2、若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=a\)对称,则\(f(a+x)=f(a-x)\),反之亦成立;

3、若函数\(y=f(x)\)满足\(f(a+x)=f(b-x)\),则其图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称,反之亦成立;

4、若函数\(y=f(x)\)图像是关于点\(A(a,b)\)对称,则充要条件是\(f(x)+f(2a-x)=2b\)

给出方式

  • 1、以图像的形式给出;

解读图像,从图像中我们就可以找出对称轴。

  • 2、以奇偶性的形式给出[奇偶性是对称性的特例];

比如奇函数,\(f(-x)=-f(x)\)或者\(f(-x)+f(x)=0\Longrightarrow\) 对称中心为\((0,0)\)

比如偶函数,\(f(-x)=f(x)\)或者\(f(-x)-f(x)=0\Longrightarrow\) 对称轴为\(x=0\)

  • 3、以奇偶性的拓展形式给出;

比如\(f(2+x)+f(-x)=2\),则对称中心为\((1,1)\)

比如\(f(x)=f(4-x)\),则对称轴为\(x=2\)原因解释

  • 4、以周期性+奇偶性的形式给出;

如,已知函数\(f(x)\)是奇函数,且满足\(f(x+4)=-f(x)\)

则由\(\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}\) \(\big\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow\)对称轴是\(x=2\)

对称性应用

【2016高考理科数学全国卷2第12题】【共用对称中心】已知函数\(f(x)(x\in R)\)满足\(f(-x)=2-\) \(f(x)\),若函数\(y=\cfrac{x+1}{x}\)与函数\(y=f(x)\)图像的交点为\((x_1,y_1)\)\((x_2,y_2)\)\(\cdots\)\((x_m,y_m)\),则\(\sum\limits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}\)的值为\(\qquad\)

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析:由题目可知\(f(x)+f(-x)=2\),即函数\(f(x)\)图像关于点\((0,1)\)对称,

而函数\(y=\cfrac{x+1}{x}=1+\cfrac{1}{x}\)图像也关于点\((0,1)\)对称,即两个函数图像有相同的对称中心,

那么二者的交点个数一定有偶数个,如图所示, 可知对横坐标而言有\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}=0\)

而对纵坐标而言,成对的点的个数是\(\cfrac{m}{2}\)个,他们中的每一对满足\(\cfrac{y_1+y_m}{2}=1\)

\(y_1+y_m=2\),故\(\sum\limits_{i=1}^m{y_i}=2\cdot \cfrac{m}{2}=m\)

\(\sum\limits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}=\sum\limits_{i=1}^m{x_i}+\sum\limits_{i=1}^m{y_i}=m\),故选 \(B\) .

【2016高考文科数学全国卷2第12题】【共用对称轴】已知函数\(f(x)(x\in R)\)满足\(f(x)=\) \(f(2-x)\),若函数\(y=|x^2-2x-3|\)与函数\(y=f(x)\)图像的交点为\((x_1,y_1)\)\((x_2,y_2)\)\(\cdots\)\((x_m,y_m)\),则\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}\)的值为 \(\qquad\)

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析:函数\(f(x)(x\in R)\)满足\(f(x)=f(2-x)\),则函数的对称轴是直线\(x=1\)

而函数\(y=|x^2-2x-3|=|(x-1)^2-4|\)的对称轴也是直线\(x=1\),作出函数的图像如右图所示,

则二者的交点个数\(m\)一定是偶数个,两两配对的个数为\(\cfrac{m}{2}\),比如\(A\) \(B\)配对,

则有\(\cfrac{x_1+x_m}{2}=1\)\(x_1+x_m=2\),故\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}=\cfrac{m}{2}\cdot 2=m\),故选\(B\)

对称性判断

【2017全国卷1文科第9题高考真题】已知函数\(f(x)=lnx+ln(2-x)\),则\(\qquad\)

$A.$在$(0,2)$上单调递增
$B.$在$(0,2)$上单调递减
$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=1$对称
$D.y=f(x)$的图像关于点$(1,0)$对称

分析:由于函数\(f(x)\)是复合函数,定义域要使\(x>0,2-x>0\),即定义域是\((0,2)\)

\(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1]\),则由复合函数的单调性法则可知,

\((0,1)\)上单增,在\((1,2)\)上单减,故排除\(A\)\(B\)

若函数\(y=f(x)\)关于点\((1,0)\)对称,则函数\(f(x)\)必然满足关系:\(f(x)+f(2-x)=0\)

若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=1\)对称,则函数\(f(x)\)必然满足关系:\(f(x)=f(2-x)\)

接下来我们用上述的结论来验证,由于\(f(x)=lnx+ln(2-x)\)

\(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx\),即满足\(f(x)=f(2-x)\),故函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称,选\(C\)

再来验证\(D\),发现\(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)]\neq 0\)\(D\)选项不满足。故选\(C\)

【2019会宁模拟】已知函数\(f(x)\)的定义域为\(R\),且在\([0,+\infty)\)上单调递增,\(g(x)=-f(|x|)\),若\(g(lgx)>g(1)\),则\(x\)的取值范围为\(\qquad\)

$A.(0,10)$ $B.(10,+\infty)$ $C.(\cfrac{1}{10},10)$ $D.(0,\cfrac{1}{10})\cup (10,+\infty)$

分析:由于函数\(f(x)\)的定义域为\(R\),且在\([0,+\infty)\)上单调递增,

故函数\(g(x)=-f(|x|)\)\([0,+\infty)\)上单调递减,且为偶函数,

\(g(lgx)>g(1)\)即可以变形为\(g(|lgx|)>g(1)\),则由单调性可知,

\(|lgx|<1\),即\(-1<lgx<1\),解得\(\cfrac{1}{10}<x<10\),故选\(C\)

【2019届高三理科数学三轮模拟题】已知函数\(f(x)=e^x+e^{2-x}\),则\(f(x)\) \(\qquad\)

$A.$在$R$上递增
$B.$在$R$上递减
$C.$关于点$(1,2e)$对称
$D.$关于直线$x=1$对称

提示:由于函数满足\(f(x)=f(2-x)\),故函数\(f(x)\)关于直线\(x=1\)对称,选\(D\)

引申:\(f(x)=e^x+e^{1-x}\)\(g(x)=e^x+e^{-x}\)

【2018高三文科训练题】已知函数\(f(x)=lg(4x-x^2)\),则\(\qquad\)

$A.f(x)$在$(0,4)$上单调递增
$B.f(x)$在$(0,4)$上单调递减
$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=2$对称
$D.y=f(x)$的图像关于点$(2,0)$对称

分析:令内函数\(g(x)=4x-x^2>0\),得到定义域\((0,4)\),又\(g(x)=-(x-2)^2+4\),故内函数在\((0,2]\)单减,在\([2,4)\)单增,外函数只有单调递增,故复合函数\(f(x)\)\((0,2]\)单减,在\([2,4)\)单增,故排除\(A\)\(B\)

要验证\(C\)选项,只需要验证\(f(x)=f(4-x)\)即可,这是\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=2\)对称的充要条件;

\(f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2]=lg(16-4x-16+8x-x^2)=lg(4x-x^2)=f(x)\),故选\(C\)

若要验证\(D\)选项,只需要利用\(y=f(x)\)的图像关于点\((2,0)\)对称的充要条件,即验证\(f(x)+f(4-x)=0\)即可。自行验证,不满足。

故本题目选\(C\).

已知函数 \(f(x)=\ln x+\ln (a-x)\) 的图象关于直线 \(x=1\) 对称, 则函数 \(f(x)\) 的值域为 \(\qquad\)

$A.(0,2)$ $B.[0,+\infty)$ $C.(-\infty,2]$ $D.(-\infty, 0]$

解: 根据题意, 对于函数 \(f(x)=\ln x+\ln (a-x)\)

\(f(a-x)=\ln (a-x)+\ln [a-(a-x)]=\ln x+\ln (a-x)=f(x)\),即\(f(a-x)=f(x)\)

则函数 \(f(x)\) 的图象关于直线 \(x=\frac{a}{2}\) 对称,

若函数 \(f(x)=\ln x+\ln (a-x)\) 的图象关于直线 \(x=1\) 对称,则有 \(\cfrac{a}{2}=1\), 则 \(a=2\)

\(f(x)=\ln x+\ln (2-x)=\ln \left(2 x-x^{2}\right)\),其定义域为 \((0,2)\)

\(t=2 x-x^{2}\), 则 \(y=\ln t\)

又由 \(t=-(x-1)^{2}+1\)\(0<x<2\), 则有 \(0<t\leqslant 1\), 则 \(y=\ln t\leqslant 0\)

即函数 \(f(x)\) 的值域为 \((-\infty, 0]\), 故选: \(D\) .

posted @ 2018-10-05 12:59  静雅斋数学  阅读(8753)  评论(0编辑  收藏  举报
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