轴对称和中心对称

前言

我们在此重点说明函数自身的对称，暂时不涉及曲线的对称。但凡函数的对称，其一定有数的刻画形式，也必然有形的刻画形式。

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1、抽象函数的对称性验证；

2、破解函数性质中的表达难点；

轴对称

以具体函数\(f(x)=x^2-2x\)为例说明；

数的表示形式：\(f(1-x)=f(1+x)\)

图形的表示形式：

引申：高中阶段我们还需要知道以下几点：

①知道解析式，我们就能知道其属于轴对称函数，

比如\(g(x)=x^4\)，\(h(x)=|x-1|\)，\(t(x)=|x^2-2x+3|\)等等；

②由数的形式就应该知道其属于轴对称函数，

比如\(f(2-x)=f(x)\)[对称轴为\(x=1\)]，\(h(4+x)=h(-x)\)[对称轴为\(x=2\)]；

中心对称

以具体函数\(f(x)=x^3+x\)为例说明；

数的表示形式，\(f(-x)+f(x)=0\)，

图形的表示形式：

引申：高中阶段我们还需要知道以下几点：

①知道解析式，我们就能知道其属于中心对称函数，

比如 \(g(x)\)\(=\)\(x^3\)，\(h(x)\)\(=\)\((x-1)^2\)\(+\)\((x-1)\)[对称中心为 \((1,0)\) ]，\(t(x)\)\(=\)\(e^x\)\(-\)\(e^{-x}\) 等等；

②由数的形式就应该知道其属于中心对称函数，

比如 \(f(2-x)+f(x)=0\) [对称中心为 \((1,0)\) ]，\(h(4+x)+h(-x)=2\) [对称中心为 \((2,1)\) ]；

典例剖析

如何验证函数 \(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\) 图象的对称中心为点 \((2,1)\)？

解析：法1，验证函数 \(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\)的对称性的思路之一：

在函数 \(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\) 的图象上任取一点 \((a, b)\)， 则 \(b=\log_{2}\cfrac{2a}{4-a}\)，

则点 \((a, b)\)关于点 \((2,1)\) 的对称点的坐标为 \((4-a,2-b)\)，

[注意，此时不能直接将点 \((4-a,2-b)\) 代入函数\(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\)，原因是我们并不知道点 \((4-a,2-b)\) 在不在这个函数图像上]

又由于 \(b=\log_{2}\cfrac{2a}{4-a}\)， 得到 \(-b=\log_{2}\cfrac{4-a}{2a}\)，

故\(2-b=2+\log_{2}\cfrac{4-a}{2a}=\log_{2}\cfrac{2(4-a)}{a}=\log_{2}\cfrac{2(4-a)}{4-(4-a)}\)，

即点 \((4-a,2-b)\) 在函数\(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\)上 ，

由于点 \((a,b)\) 的任意性，可知函数图象的对称中心为\((2, 1)\)， 故 (5) 正确.

法2，验证函数 \(y=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\)的对称性的思路之二：

由于 \(y=f(x)=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}\)，

故 \(f(4-x)=\log _{2}\cfrac{2(4-x)}{4-(4-x)}=\log _{2}\cfrac{2(4-x)}{x}\)，

则\(f(x)+f(4-x)=\log _{2}\cfrac{2x}{4-x}+\log _{2}\cfrac{2(4-x)}{x}=\log_{2}4=2\)，

即函数满足 \(f(x)+f(4-x)=2\)，故函数 \(y=f(x)\) 关于点 \((2,1)\) 对称；

疑难解析

• 双中心对称函数有对称轴吗？

不一定，https://www.desmos.com/calculator/uturnuoe2i

双中心对称函数有对称轴吗？ - 知乎

双中心对称的函数不一定有对称轴。中心对称性指的是图形绕一个点旋转180度后与自身重合的性质，而对称轴则是图形关于某条直线的对称。一个函数可以同时具有中心对称性和轴对称性，但这不是必然的。例如，如果一个函数有两个对称中心，这意味着在这些中心点周围，函数图像能够通过旋转180度相互重合，但这并不直接意味着函数在水平或垂直方向上具有对称轴。

从给出的参考内容来看，虽然讨论了函数可能具有多个对称特性，包括轴对称和中心对称，但没有直接的例子表明双中心对称性必然导致对称轴的存在。实际上，一个函数可以设计成仅在特定点为中心对称，而不具备沿任何直线的轴对称性。因此，双中心对称性与对称轴的存在与否是两个独立的属性，需要具体函数的具体分析来确定是否同时存在对称轴。