Journey of Proof

摘要： 定义 \(f:D\subset \mathbb R\to \mathbb R,\ a\in D\)： \[f\ \text{在}\ a\ \text{连续}\ \iff\ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x:\ \bigl(x\in D\ 阅读全文

摘要： 0. 记号与约定 扩展实数系 \(\overline{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}\)（注意：不含无符号的 \(\infty\)）。 对实数列 \((x_n)\)，记 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_ 阅读全文

摘要： 定义 1.1（在点连续） \[\begin{aligned} f \text{ 在 } x_0 \text{ 连续}:\iff {}& x_0\in D_f\\ &\land \exists \eta>0\ (B_\eta(x_0)\subseteq D_f)\\ &\land \forall \v 阅读全文

摘要： 定理 定理0（费马引理） \[\begin{align*} &f:U(x_0)\to\mathbb R,\ f'(x_0)\text{ 存在},\ x_0\text{ 为局部极值点}\\ \implies &f'(x_0)=0 \end{align*} \]定理1（Rolle） \[\begin{a 阅读全文

摘要： 一、定理内容 1.1 二元 AM-GM 对 \(a,b \ge 0\)： \[\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab} \]等号当且仅当 \(a = b\)。左边叫算术平均（Arithmetic Mean, AM），右边叫几何平均（Geometric Mean, GM）。 几何意义 阅读全文

摘要： 为什么要介绍单调有界定理呢，其实只是为在证明中遇到的一些定理做一些细致化的写文，相当于遇到什么写什么，取决于个人眼光，知识储备。 单调有界定理 1.1 内容 单调有界定理（Monotone Convergence Theorem）：在实数系 \(\mathbb R\) 中—— 单增有上界的数列必收敛 阅读全文

摘要： 要开一个新的内容，并努力保持一日两更吧，包括数学当中的一些技术，定理什么的，还有一些是数学证明中的思想，当然这个思想可以说是思路，综合来看的话，只有技术没有思想，不知道写证明在写什么，而只有思想没有技术的话就会什么都执行不下去。 阅读全文

摘要： 先给出一个定理的证明及其迭代路径，之后再考虑考虑怎么引出其背景。 (带余除法)给定正整数 \(a\) 和 \(b\)，\(b \neq 0\)，存在唯一的整数\(q\)和\(r\)，满足\(0 \le r < b\)，使得 \[a = bq + r. \]证明:考虑整数集合\(S=\{a-bt\}\ 阅读全文

摘要： 一.求下列幂级数的收敛半径与收敛区域 (1)\(\displaystyle \sum_{n=1} n x^n\) 由于 $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1$$ 阅读全文

摘要： 先看一道题 \[\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 \sqrt[n]{2}\left(1-\cos\frac{1}{n^2}\right)}{\sqrt{n^2+1}-n}= \lim_{n \to \infty} \frac{n^3 \cdot \frac{1}{2} \c 阅读全文