带余除法

先给出一个定理的证明及其迭代路径，之后再考虑考虑怎么引出其背景。
(带余除法)给定正整数 \(a\) 和 \(b\)，\(b \neq 0\)，存在唯一的整数\(q\)和\(r\)，满足\(0 \le r < b\)，使得

\[a = bq + r. \]

证明:考虑整数集合\(S=\{a-bt\}\)，因为\(a,b\)都是正整数，为使\(a-bt\)呈现出一定规律，令\(\ t=0,\pm1,\pm2,\pm3,\dots\)，(其实只是要求整数).当\(t=0,-1…\)时可知集合\(S\)包含非负元素，根据整数的最小整数原理，可知\(S\)中存在一个最小非负数，记为\(r\)，令\(q\)为对应的\(t\)值，由\(r\)非负，即\(r\ge 0\)，可知现只需证明\(r< b\).
(反证法)若\(r=b + r' \quad (r' \ge 0)\)，则\(r' = r - b = a - bq - b = a - b(q+1)\)，故\(r'\)是\(S\)中的元素，而\(0 \le r' = r - b < r\)与上述最小整数原理矛盾.
因此给出\(q,r\).
下证唯一性，设\(a = bq + r = bq_1 + r_1\)，其中\(0 \le r < b ，0 \le r_1 < b\).相减得\(0 = b(q - q_1) + (r - r_1)\)，易知\(b \mid r - r_1\)
而由范围\(0 \le r < b ，0 \le r_1 < b\)可得\(-b < r - r_1 < b\)，易知\(r - r_1 = 0\)，故\(q - q_1 = 0\)