stolz定理

0. 记号与约定

• 扩展实数系 \(\overline{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}\)（注意：不含无符号的 \(\infty\)）。
• 对实数列 \((x_n)\)，记 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=L\in\overline{\mathbb{R}}\) 的定义为：
  • \(L\in\mathbb{R}\)：\(\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |x_n-L|<\varepsilon\)；
  • \(L=+\infty\)：\(\forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ x_n>M\)；
  • \(L=-\infty\)：\(\forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ x_n<M\)。
• 向前差分 \(\Delta a_n:=a_{n+1}-a_n\)，向后差分 \(\nabla a_n:=a_n-a_{n+1}\)（二者仅差符号：\(\nabla a_n=-\Delta a_n\)）

1. 定理 A（Stolz 第一定理，\(\infty/\infty\) 型）

设 \((a_n)_{n\ge1},(b_n)_{n\ge1}\subset\mathbb{R}\) 满足

\[\text{(A1)}\quad \forall n\in\mathbb{N}:\ b_{n+1}>b_n,\qquad \lim_{n\to\infty}b_n=+\infty; \]

\[\text{(A2)}\quad \exists L\in\overline{\mathbb{R}}:\ \lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=L . \]

则

\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L . \]

2. 关于 \(L\) 的两条注记

注记 \(A-i\)（\(L\) 的取值范围） 条件 (A2) 中的 \(L\) 允许取 \(\overline{\mathbb{R}}\) 的任一元素，即下列三者之一：

\[L\in\mathbb{R}\ \Longleftrightarrow\ \forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N:\ \Big|\tfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}-L\Big|<\varepsilon; \]

\[L=+\infty\ \Longleftrightarrow\ \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\ \forall n\ge N:\ \tfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}>M; \]

\[L=-\infty\ \Longleftrightarrow\ \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\ \forall n\ge N:\ \tfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}<M. \]

但 \(L\) 不可以是无符号的 \(\infty\)，即条件

\[\forall M>0\ \exists N\ \forall n\ge N:\ \Big|\tfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\Big|>M \tag{$\ast$} \]

不蕴含上述任何一条，也不落入定理 A 的适用范围：\((\ast)\) 只表示差分比的模长发散而符号不定（振荡），此时 \(\dfrac{a_n}{b_n}\) 的极限可以不成立
注记 \(A-ii\)（对 \((a_n)\) 无附加要求） 定理 A 的条件中不含关于 \((a_n)\) 的任何下述性质：

\[a_n\to+\infty,\qquad (a_n)\ \text{单调},\qquad (a_n)\ \text{有界},\qquad \liminf_{n\to\infty}a_n>-\infty . \]

即允许 \((a_n)\) 有界、振荡，或 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-\infty\)（此点弱于 L'Hôpital 法则的相应要求）

3. 定理 B（Stolz 第二定理，\(0/0\) 型）

设 \((a_n)_{n\ge1},(b_n)_{n\ge1}\subset\mathbb{R}\) 满足

\[\text{(B1)}\quad \forall n\in\mathbb{N}:\ b_{n+1}<b_n,\qquad \lim_{n\to\infty}b_n=0; \]

\[\text{(B2)}\quad \lim_{n\to\infty}a_n=0; \]

\[\text{(B3)}\quad \exists L\in\overline{\mathbb{R}}:\ \lim_{n\to\infty}\frac{\nabla a_n}{\nabla b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n+1}}{b_n-b_{n+1}}=L . \]

则

\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L . \]

4. 两定理的形式对照

两定理的唯一"细微差别"在于差分方向的选取：

	分母 \((b_n)\)	所用差分
定理 A	\(b_n\nearrow+\infty\)	\(\Delta=a_{n+1}-a_n,\ \Delta b_n>0\)
定理 B	\(b_n\searrow 0\)（且 \(b_n>0\)）	\(\nabla=a_n-a_{n+1},\ \nabla b_n>0\)

附：它从哪来

人物	生卒
Otto Stolz	1842–1905，奥地利因斯布鲁克人，师从Weierstrass、Kummer、Kronecker
Ernesto Cesàro	1859–1906，意大利那不勒斯人，以 Cesàro 求和闻名

两人各自独立给出，所以叫 Stolz–Cesàro。

证明

证法一：

设定理 \(A\) 的条件成立且 \(L\in\mathbb{R}\)（有限）。由 \(b_n\nearrow+\infty\) 知 \(\{n:\ b_n\le 0\}\) 为有限集，故 \(\exists N_0\ \forall n\ge N_0:\ b_n>0\)。增删有限项不改变 \(\dfrac{a_n}{b_n}\) 与 \(\dfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\) 的极限，故不妨设

\[\forall n:\ b_n>0,\qquad \Delta b_n=b_{n+1}-b_n>0 . \]

第一步 任取 \(\varepsilon>0\)。由 \((A2)\) 及 \(L\in\mathbb{R}\)，\(\exists N\ \forall n\ge N\)：

\[L-\varepsilon<\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}<L+\varepsilon . \]

因 \(\Delta b_n>0\)，两端同乘 \(\Delta b_n\)：

\[(L-\varepsilon)\Delta b_n<\Delta a_n<(L+\varepsilon)\Delta b_n\qquad(n\ge N). \]

第二步（裂项累加） 对 \(n=N,\dots,m-1\)（\(m>N\)）求和：

\[\sum_{n=N}^{m-1}\Delta a_n=a_m-a_N,\qquad \sum_{n=N}^{m-1}\Delta b_n=b_m-b_N, \]

故

\[(L-\varepsilon)(b_m-b_N)<a_m-a_N<(L+\varepsilon)(b_m-b_N). \]

第三步（除以 \(b_m>0\)） \(\dfrac{b_m-b_N}{b_m}=1-\dfrac{b_N}{b_m}\)：

\[\frac{a_N}{b_m}+(L-\varepsilon)\Big(1-\frac{b_N}{b_m}\Big)<\frac{a_m}{b_m}<\frac{a_N}{b_m}+(L+\varepsilon)\Big(1-\frac{b_N}{b_m}\Big). \]

第四步（令 \(m\to\infty\)） 因 \(b_m\to+\infty\)，而 \(a_N,b_N\) 为固定常数，故

\[\frac{a_N}{b_m}\to 0,\qquad \frac{b_N}{b_m}\to 0 . \]

记 \(\alpha:=\varliminf\limits_{m\to\infty}\dfrac{a_m}{b_m}\)，\(\beta:=\varlimsup\limits_{m\to\infty}\dfrac{a_m}{b_m}\)（恒有 \(\alpha\le\beta\)）。对第三步不等式取下极限与上极限：

\[L-\varepsilon\le\alpha\le\beta\le L+\varepsilon . \]

第五步（\(\varepsilon\) 任意） 若 \(\alpha<L\)，取 \(\varepsilon=\dfrac{L-\alpha}{2}>0\)，则 \(L-\varepsilon=\dfrac{L+\alpha}{2}>\alpha\)，与 \(L-\varepsilon\le\alpha\) 矛盾，故 \(\alpha\ge L\)；同理 \(\beta\le L\)。于是

\[L\le\alpha\le\beta\le L\ \Longrightarrow\ \alpha=\beta=L, \]

即 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\)。\(\blacksquare\)

情形归约：\(L=\pm\infty\)

沿用定理 \(A\) 的条件，仅把 \((A2)\) 中的 \(L\) 换为 \(+\infty\) 或 \(-\infty\)。

\((i)\) \(L=+\infty\)

• \((i-a)\) 先证 \(a_n\to+\infty\)。 由 \(\dfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\to+\infty\)，\(\exists N_1\ \forall n\ge N_1:\ \dfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}>1\)，即 \(\Delta a_n>\Delta b_n>0\)。对 \(n>N_1\) 累加：

\[a_n=a_{N_1}+\sum_{k=N_1}^{n-1}\Delta a_k>a_{N_1}+\sum_{k=N_1}^{n-1}\Delta b_k=a_{N_1}+b_n-b_{N_1}\xrightarrow[n\to\infty]{}+\infty . \]

同时得 \((a_n)_{n\ge N_1}\) 严格递增，且 \(\exists N_2\ \forall n\ge N_2:\ a_n>0\)。

• \((i-b)\) 交换分子分母。 由 \(\dfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\to+\infty\) 且当 \(n\ge N_1\) 时该比值 \(>0\)，取倒数：

\[\frac{\Delta b_n}{\Delta a_n}=\Big(\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\Big)^{-1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0=:L'\in\mathbb{R} . \]

以 \((b_n)\) 为分子、\((a_n)\) 为分母验证有限情形的假设：\(\Delta a_n>0\ (n\ge N_1)\) 故 \((a_n)\) 递增，\(a_n\to+\infty\)（\((i-a)\)），差分比趋于有限值 \(L'=0\)；对 \((b_n)\) 无任何要求（注记 \(A-ii\)）。故由证法一得

\[\frac{b_n}{a_n}\to 0 . \]

• \((i-c)\) 还原。 当 \(n\ge\max\{N_0,N_2\}\) 时 \(a_n>0,\ b_n>0\)，故 \(\dfrac{a_n}{b_n}=\Big(\dfrac{b_n}{a_n}\Big)^{-1}>0\)。任取 \(M>0\)，由 \(\dfrac{b_n}{a_n}\to0\) 且恒正，\(\exists N\ \forall n\ge N:\ 0<\dfrac{b_n}{a_n}<\dfrac1M\)，从而 \(\dfrac{a_n}{b_n}>M\)。即

\[\frac{a_n}{b_n}\to+\infty . \]

\((ii)\) \(L=-\infty\) 令 \(c_n:=-a_n\)。则

\[\frac{\Delta c_n}{\Delta b_n}=\frac{-(a_{n+1}-a_n)}{b_{n+1}-b_n}=-\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\xrightarrow[n\to\infty]{}-(-\infty)=+\infty, \]

即 \((c_n)\) 满足情形 \((i)\) 的条件，故 \(\dfrac{c_n}{b_n}\to+\infty\)，于是

\[\frac{a_n}{b_n}=-\frac{c_n}{b_n}\to-\infty . \]

\((iii)\) 附：有限但 \(L\ne0\) 的归约 令 \(\tilde a_n:=a_n-Lb_n\)，则

\[\frac{\Delta\tilde a_n}{\Delta b_n}=\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}-L\xrightarrow[n\to\infty]{}0 . \]

由证法一（取 \(L'=0\)）得 \(\dfrac{\tilde a_n}{b_n}\to0\)，而恒等变形 \(\dfrac{\tilde a_n}{b_n}=\dfrac{a_n}{b_n}-L\)，故 \(\dfrac{a_n}{b_n}\to L\)。

\(0/0\) 型：让 \(p\to\infty\)

设定 设定理 B 的条件成立且 \(L\in\mathbb{R}\)：\(b_{n+1}<b_n,\ b_n\to0,\ a_n\to0\)；\(\forall n:\ b_n>0\)，且 \(\nabla b_n=b_n-b_{n+1}>0\)，\(\nabla a_n=a_n-a_{n+1}\)。

第一步 任取 \(\varepsilon>0\)。由 \((B3)\)，\(\exists N\ \forall n\ge N\)：

\[L-\varepsilon<\frac{\nabla a_n}{\nabla b_n}<L+\varepsilon . \]

因 \(\nabla b_n>0\)，得

\[(L-\varepsilon)\nabla b_n<\nabla a_n<(L+\varepsilon)\nabla b_n\qquad(n\ge N). \]

第二步（对 \(k=n,\dots,n+p-1\) 求和） 固定 \(n\ge N\) 与 \(p\ge1\)，向后裂项累加：

\[\sum_{k=n}^{n+p-1}\nabla a_k=a_n-a_{n+p},\qquad \sum_{k=n}^{n+p-1}\nabla b_k=b_n-b_{n+p}, \]

故

\[(L-\varepsilon)(b_n-b_{n+p})<a_n-a_{n+p}<(L+\varepsilon)(b_n-b_{n+p}). \]

第三步（令 \(p\to\infty\)） 固定 \(n\)，由 \(a_{n+p}\to0,\ b_{n+p}\to0\)：

\[(L-\varepsilon)b_n\le a_n\le(L+\varepsilon)b_n\qquad(n\ge N). \]

第四步（除以 \(b_n>0\)）

\[L-\varepsilon\le\frac{a_n}{b_n}\le L+\varepsilon\ \Longrightarrow\ \Big|\frac{a_n}{b_n}-L\Big|\le\varepsilon\qquad(n\ge N). \]

由 \(\varepsilon>0\) 任意，即 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\).\(\blacksquare\)

证法二：权重分解

0.

沿用定理 \(A\) 的假设，本节取 \(L\in\mathbb{R}\)（有限情形）。

(N1) 删去有限项 由 \(b_n\nearrow+\infty\)，集合 \(\{n:\ b_n\le 0\}\) 为有限集。删去有限个初始项后从 \(n=1\) 重新编号，可设

\[b_n>0\quad(\forall n\ge 1),\qquad b_{n+1}>b_n\quad(\forall n\ge 1),\qquad \lim_{n\to\infty}b_n=+\infty, \]

且差分比 \(\dfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\to L\) 与待证结论 \(\dfrac{a_n}{b_n}\to L\) 均不受有限项增删影响。

(N2) 令 \(a_0:=0,\ b_0:=0\)（仅为记号便利引入的辅助量，不加任何条件于原数列）。

(N3) 定义（\(n\ge 1,\ 1\le k\le n\)）

\[\beta_n(k):=\frac{b_k-b_{k-1}}{b_n},\qquad \alpha_k:=\frac{a_k-a_{k-1}}{b_k-b_{k-1}} . \]

(N4) $$\lim_{k\to\infty}\alpha_k=L .$$

1. 三条性质

(P1) \(\beta_n(k)>0\ (1\le k\le n)\)。
证：分子 \(b_k-b_{k-1}>0\)（见 \((N3)\)），分母 \(b_n>0\)（见 \((N1)\)）
(P2) 对任意固定的 \(k\)，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\beta_n(k)=0\)。
(P3) 行和为 1 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n\beta_n(k)=1\)。
证：裂项 \(\sum_{k=1}^n(b_k-b_{k-1})=b_n-b_0=b_n\)（ \(b_0=0\)），故

\[\sum_{k=1}^n\beta_n(k)=\frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^n(b_k-b_{k-1})=\frac{b_n}{b_n}=1 . \]

2. 恒等式

\[{\frac{a_n}{b_n}=\sum_{k=1}^n\beta_n(k)\,\alpha_k} \]

证：由定义 \(\beta_n(k)\alpha_k=\dfrac{1}{b_n}(a_k-a_{k-1})\)，故裂项累加

\[\sum_{k=1}^n\beta_n(k)\alpha_k=\frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})=\frac{a_n-a_0}{b_n}=\frac{a_n}{b_n}\quad(a_0=0). \]

3.分段估计

由 \((P3)\) 得恒等变形

\[\frac{a_n}{b_n}-L=\sum_{k=1}^n\beta_n(k)\alpha_k-L\sum_{k=1}^n\beta_n(k)=\sum_{k=1}^n\beta_n(k)(\alpha_k-L),\qquad \Big|\frac{a_n}{b_n}-L\Big|\le\sum_{k=1}^n\beta_n(k)\,|\alpha_k-L| . \]

任取 \(\varepsilon>0\)：

• 由 \((N4)\)，\(\exists K\in\mathbb{N}\ \forall k>K:\ |\alpha_k-L|<\varepsilon\)；
• 记 \(C:=\max\Big\{1,\ \max_{1\le k\le K}|\alpha_k-L|\Big\}\in[1,+\infty)\)；又由 \((P3)\) 的证明过程，\(\sum_{k=1}^{K}\beta_n(k)=\dfrac{b_K-b_0}{b_n}=\dfrac{b_K}{b_n}\)，而 \(b_K\) 为固定常数、\(b_n\to+\infty\)，故 \(\exists N\ge K+1\ \forall n\ge N:\ \dfrac{b_K}{b_n}<\dfrac{\varepsilon}{C}\)。

于是对一切 \(n\ge N\)（此时 \(n>K\)）：

\[\Big|\frac{a_n}{b_n}-L\Big|\le\sum_{k=1}^{K}\beta_n(k)|\alpha_k-L|+\sum_{k=K+1}^{n}\beta_n(k)|\alpha_k-L| \]

\[\le C\sum_{k=1}^{K}\beta_n(k)+\varepsilon\sum_{k=K+1}^{n}\beta_n(k)\le C\cdot\frac{b_K}{b_n}+\varepsilon\sum_{k=1}^{n}\beta_n(k)<\varepsilon+\varepsilon\cdot 1=2\varepsilon . \]

由 \(\varepsilon>0\) 任意得

\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L . \qquad\blacksquare \]

4. 这个视角的两个好处

\((i)\) \(b_n=n\) 时退化为 Cesàro 平均 此时 \(b_k-b_{k-1}\equiv 1\)（且 \(b_0=0\) 与 \(b_n=n\) 相容），故

\[\beta_n(k)\equiv\frac{1}{n}\quad(1\le k\le n),\qquad \alpha_k=\frac{a_k-a_{k-1}}{1}=\Delta a_{k-1}, \]

核心恒等式变为

\[\frac{a_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\Delta a_{k-1}, \]

右端正是差分列 \((\Delta a_{k-1})_{k\ge 1}\) 的 Cesàro 算术平均；条件 \(\alpha_k\to L\) 即 \(\Delta a_n\to L\)，结论 \(\dfrac{a_n}{n}\to L\) 即 Cesàro 定理。故 Cesàro 平均只是 Stolz 的特例.

(ii) 与 Toeplitz 定理同一套东西 把 \((\beta_n(k))\) 补成下三角矩阵

\[p_{nk}:=\begin{cases}\beta_n(k),&1\le k\le n,\\[2pt] 0,&k>n,\end{cases} \]

则 (P1)(P2)(P3) 恰为 Toeplitz 的三条条件：

Toeplitz 条件	对应性质	验证
\((T1)\) \(\forall k\) 固定：\(\lim\limits_{n\to\infty}p_{nk}=0\)	\((P2)\)	当 \(n\ge k\) 时 \(p_{nk}=\beta_n(k)=\dfrac{b_k-b_{k-1}}{b_n}\)，分子为与 \(n\) 无关的常数而 \(b_n\to+\infty\)，故 \(p_{nk}\to0\)
\((T2)\) \(\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k\ge 1}p_{nk}=1\)	\((P3)\)	\(\sum_{k\ge 1}p_{nk}=\sum_{k=1}^{n}\beta_n(k)=\dfrac{b_n-b_0}{b_n}=1\)，行和恒等于 \(1\)，故极限为 \(1\)
\((T3)\) \(\sup\limits_{n}\sum\limits_{k\ge 1}\lvert p_{nk}\rvert<\infty\)	\((P1)+(P3)\)	由 \((P1)\) \(\beta_n(k)>0\) 得 \(\sum_{k\ge 1}\lvert p_{nk}\rvert=\sum_{k=1}^{n}\beta_n(k)=1\)，故 \(\sup_{n}\sum_{k\ge1}\lvert p_{nk}\rvert=1<\infty\)，可取 \(M=1\)

Toeplitz 定理：若 \((p_{nk})\) 满足 \((T1)(T2)(T3)\) 且 \(x_k\to L\in\mathbb{R}\)，则 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k\ge 1}p_{nk}x_k=L\)。取 \(x_k:=\alpha_k\)（由 \((N4)\) 有 \(x_k\to L\)），由核心恒等式 \(\dfrac{a_n}{b_n}=\sum_{k\ge 1}p_{nk}\alpha_k\)，立得 \(\dfrac{a_n}{b_n}\to L\)。可见第 3 节的分段估计正是 Toeplitz 定理证明的原型.

5. 注：\(L=\pm\infty\) 的情形

第 0–3 节在 \(L\in\mathbb{R}\) 下完成。\(L=+\infty\) 与 \(L=-\infty\) 由 §三「情形归约」化归到有限情形：

\[L=+\infty:\ \frac{\Delta b_n}{\Delta a_n}\to 0\ \Longrightarrow\ \frac{b_n}{a_n}\to 0\ \Longrightarrow\ \frac{a_n}{b_n}\to+\infty;\qquad L=-\infty:\ \text{取 } c_n=-a_n\ \text{归约到上一情形}. \]

(ii) 与 Toeplitz 定理同一套东西 把 \((\beta_n(k))\) 补成下三角矩阵

\[p_{nk}:=\begin{cases}\beta_n(k),&1\le k\le n,\\[2pt] 0,&k>n,\end{cases} \]

则 \((P1)(P2)(P3)\) 恰为 Toeplitz 的三条条件：

Toeplitz 条件	对应性质	验证
\((T1)\) \(\forall k\) 固定：\(\lim\limits_{n\to\infty}p_{nk}=0\)	\((P2)\)	当 \(n\ge k\) 时 \(p_{nk}=\beta_n(k)=\dfrac{b_k-b_{k-1}}{b_n}\)，分子为与 \(n\) 无关的常数而 \(b_n\to+\infty\)，故 \(p_{nk}\to0\)
\((T2)\) \(\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k\ge 1}p_{nk}=1\)	\((P3)\)	\(\sum_{k\ge 1}p_{nk}=\sum_{k=1}^{n}\beta_n(k)=\dfrac{b_n-b_0}{b_n}=1\)，行和恒等于 \(1\)，故极限为 \(1\)
\((T3)\) \(\sup\limits_{n}\sum\limits_{k\ge 1}\lvert p_{nk}\rvert<\infty\)	\((P1)+(P3)\)	由 \((P1)\) \(\beta_n(k)>0\) 得 \(\sum_{k\ge 1}\lvert p_{nk}\rvert=\sum_{k=1}^{n}\beta_n(k)=1\)，故 \(\sup_{n}\sum_{k\ge1}\lvert p_{nk}\rvert=1<\infty\)，可取 \(M=1\)

Toeplitz 定理：若 \((p_{nk})\) 满足 \((T1)(T2)(T3)\) 且 \(x_k\to L\in\mathbb{R}\)，则 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k\ge 1}p_{nk}x_k=L\)。取 \(x_k:=\alpha_k\)（由 \((N4)\) 有 \(x_k\to L\)），由核心恒等式 \(\dfrac{a_n}{b_n}=\sum_{k\ge 1}p_{nk}\alpha_k\)，立得 \(\dfrac{a_n}{b_n}\to L\)。可见第 3 节的分段估计正是 Toeplitz 定理证明的原型.

5.注：\(L=\pm\infty\) 的情形

第 0–3 节在 \(L\in\mathbb{R}\) 下完成.\(L=+\infty\) 与 \(L=-\infty\) 化归到有限情形：

\[L=+\infty:\ \frac{\Delta b_n}{\Delta a_n}\to 0\ \Longrightarrow\ \frac{b_n}{a_n}\to 0\ \Longrightarrow\ \frac{a_n}{b_n}\to+\infty;\qquad L=-\infty:\ \text{取 } c_n=-a_n\ \text{归约到上一情形}. \]

证法三:

0.

沿用定理 A 的条件，本节先证 \(L\in\mathbb{R}\)（有限） 的情形。
(N1) 删去有限项，使分母全正 由 \(b_n\nearrow+\infty\)，集合 \(\{n:\ b_n\le0\}\) 有限。删去有限个初始项并从 \(n=1\) 重新编号，可设

\[\forall n\ge1:\ b_n>0,\qquad \Delta b_n:=b_{n+1}-b_n>0, \]

且增删有限项不改变 \(\dfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\) 与 \(\dfrac{a_n}{b_n}\) 的极限。
(N2) 归约到 \(L=0\) 令

\[\tilde a_n:=a_n-Lb_n,\qquad \tilde b_n:=b_n . \]

则 \(\Delta\tilde b_n=\Delta b_n>0\)，\(\Delta\tilde a_n=\Delta a_n-L\Delta b_n\)，从而

\[\frac{\Delta\tilde a_n}{\Delta\tilde b_n}=\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}-L\xrightarrow[n\to\infty]{}0 . \]

并且恒等变形

\[\frac{\tilde a_n}{b_n}=\frac{a_n-Lb_n}{b_n}=\frac{a_n}{b_n}-L\qquad(\forall n) \]

表明 \(\dfrac{\tilde a_n}{b_n}\to0\iff\dfrac{a_n}{b_n}\to L\)。故只需证 \(L=0\) 的情形

1. 引理

引理 设 \(p\ge1\)，\(u_1,\dots,u_p\in\mathbb{R}\)，\(v_1,\dots,v_p>0\)，且存在实数 \(m\le M\) 使

\[m\le\frac{u_k}{v_k}\le M\qquad(k=1,\dots,p). \]

则

\[m\le\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{p}u_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{p}v_k}\le M . \]

证明 由 \(v_k>0\)，将 \(m\le\dfrac{u_k}{v_k}\le M\) 各项同乘 \(v_k\)：

\[m\,v_k\le u_k\le M\,v_k\qquad(k=1,\dots,p). \]

对 \(k=1,\dots,p\) 求和：

\[m\sum_{k=1}^{p}v_k\le\sum_{k=1}^{p}u_k\le M\sum_{k=1}^{p}v_k . \]

由 \(v_k>0\) 且 \(p\ge1\) 得 \(\sum_{k=1}^{p}v_k>0\)，同除之即得结论。■

等价形式（说明它为何成立） 记 \(w_k:=\dfrac{v_k}{\sum_{j=1}^p v_j}\)，则 \(w_k>0\)、\(\sum_{k=1}^p w_k=1\)，且

\[\frac{\sum_{k}u_k}{\sum_{k}v_k}=\sum_{k=1}^{p}w_k\cdot\frac{u_k}{v_k}, \]

故必落在 \(\min_k\dfrac{u_k}{v_k}\) 与 \(\max_k\dfrac{u_k}{v_k}\) 之间.（这与证法二的加权平均是同一事实的两种写法)

2.

任取 \(\varepsilon>0\)。由 \(\dfrac{\Delta\tilde a_n}{\Delta\tilde b_n}\to0\)，存在 \(N\in\mathbb{N}\) 使得

\[\forall k\ge N:\quad\Big|\frac{\Delta\tilde a_k}{\Delta\tilde b_k}\Big|\le\varepsilon,\qquad\text{即}\qquad -\varepsilon\le\frac{\Delta\tilde a_k}{\Delta\tilde b_k}\le\varepsilon . \]

固定 \(n>N\)，对指标 \(k=N,N+1,\dots,n-1\) 应用引理，取

\[u_k:=\Delta\tilde a_k,\qquad v_k:=\Delta\tilde b_k=\Delta b_k>0,\qquad m:=-\varepsilon,\quad M:=\varepsilon . \]

引理给出

\[-\varepsilon\le\frac{\displaystyle\sum_{k=N}^{n-1}\Delta\tilde a_k}{\displaystyle\sum_{k=N}^{n-1}\Delta b_k}\le\varepsilon . \]

分子、分母分别裂项：\(\sum_{k=N}^{n-1}\Delta\tilde a_k=\tilde a_n-\tilde a_N\)，\(\sum_{k=N}^{n-1}\Delta b_k=b_n-b_N\)，故

\[-\varepsilon\le\frac{\tilde a_n-\tilde a_N}{b_n-b_N}\le\varepsilon . \]

因 \(n>N\) 时 \(b_n-b_N=\sum_{k=N}^{n-1}\Delta b_k>0\)，乘过去得

\[|\tilde a_n-\tilde a_N|\le\varepsilon\,(b_n-b_N)\qquad(n>N). \tag{$\dagger$} \]

3.

由三角不等式与 \((\dagger)\)，对 \(n>N\)：

\[|\tilde a_n|\le|\tilde a_n-\tilde a_N|+|\tilde a_N|\le\varepsilon\,(b_n-b_N)+|\tilde a_N| . \]

由 \((N1)\) 有 \(b_N>0\)，故 \(b_n-b_N\le b_n\)；再除以 \(b_n>0\)：

\[\Big|\frac{\tilde a_n}{b_n}\Big|\le\varepsilon+\frac{|\tilde a_N|}{b_n}\qquad(n>N). \tag{$\ddagger$} \]

其中余项（这正是原文写的 \(\dfrac{|x_N-Ay_N|}{|y_n|}\)，即 \(x_N=a_N,\ y_N=b_N,\ A=L\)，因 \(|\tilde a_N|=|a_N-Lb_N|\)）

\[\frac{|\tilde a_N|}{b_n}=\frac{|a_N-Lb_N|}{b_n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0, \]

因为分子 \(|\tilde a_N|\) 是与 \(n\) 无关的固定常数，而 \(b_n\to+\infty\).

4.

对 \((\ddagger)\) 取上极限（\(N\) 已固定）：

\[0\le\varlimsup_{n\to\infty}\Big|\frac{\tilde a_n}{b_n}\Big|\le\varepsilon+0=\varepsilon . \]

由 \(\varepsilon>0\) 任意，得 \(\varlimsup\limits_{n\to\infty}\Big|\dfrac{\tilde a_n}{b_n}\Big|=0\)，于是

\[\lim_{n\to\infty}\Big|\frac{\tilde a_n}{b_n}\Big|=0\quad\Longrightarrow\quad\lim_{n\to\infty}\frac{\tilde a_n}{b_n}=0 . \]

再由 \((N2)\) 的恒等变形 \(\dfrac{a_n}{b_n}-L=\dfrac{\tilde a_n}{b_n}\)，即得

\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L . \qquad\blacksquare \]

5. 三点注记

\((i)\) 与证法一的比较 不归约到 \(L=0\)、直接套引理会得到

\[L-\varepsilon\le\frac{a_n-a_N}{b_n-b_N}\le L+\varepsilon, \]

再分解 \(\dfrac{a_n}{b_n}=\underbrace{\dfrac{a_n-a_N}{b_n-b_N}}_{r_n\in[L-\varepsilon,L+\varepsilon]}\cdot\underbrace{\Big(1-\dfrac{b_N}{b_n}\Big)}_{\lambda_n\to1}+\dfrac{a_N}{b_n}\)，需分别对 \(\varliminf\) 与 \(\varlimsup\) 放缩——这正是证法一的收尾。而经 (N2) 归约到 \(L=0\) 后，目标变为"绝对值 \(\to0\)"，只需一侧的上极限。
\((ii)\) \(L=\pm\infty\) 的情形 由情形归约处理，本证法不重复：\(L=+\infty\) 时先得 \(\Delta a_n>\Delta b_n>0\) 与 \(a_n\to+\infty\)，再对 \(\dfrac{\Delta b_n}{\Delta a_n}\to0\) 套有限情形（可用本证法三）得 \(\dfrac{b_n}{a_n}\to0\)，故 \(\dfrac{a_n}{b_n}\to+\infty\)；\(L=-\infty\) 时令 \(c_n=-a_n\) 归约到上一情形。
\((iii)\) 三种证法同源 证法一、证法二（权重分解/Toeplitz）、证法三用的是同一个事实：

\[\frac{a_n-a_N}{b_n-b_N}=\sum_{k=N}^{n-1}\frac{\Delta b_k}{b_n-b_N}\cdot\frac{\Delta a_k}{\Delta b_k}, \]

不等式 Stolz

约定：\(b_n\nearrow+\infty\ \wedge\ \Delta b_n>0\)；\(\varliminf,\varlimsup\in\overline{\mathbb R}\).

引理（单侧传递）

\[(\text{A})\quad (\exists M\in\mathbb R)(\exists N)(\forall k\ge N):\ \frac{\Delta a_k}{\Delta b_k}\le M\ \Longrightarrow\ \varlimsup\frac{a_n}{b_n}\le M . \]

\[(\text{B})\quad (\exists m\in\mathbb R)(\exists N)(\forall k\ge N):\ m\le\frac{\Delta a_k}{\Delta b_k}\ \Longrightarrow\ \varliminf\frac{a_n}{b_n}\ge m . \]

证 (A)引理 设 \(p\ge1\)，\(u_1,\dots,u_p\in\mathbb{R}\)，\(v_1,\dots,v_p>0\)，且存在实数 \(m\le M\) 使

\[m\le\frac{u_k}{v_k}\le M\qquad(k=1,\dots,p). \]

则

\[m\le\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{p}u_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{p}v_k}\le M . \]

引理施于\(k=N,\dots,n-1\) \(\Rightarrow\) \(\frac{a_n-a_N}{b_n-b_N}\le M\ (n>N)\)。令 \(\lambda_n:=1-\frac{b_N}{b_n}\)，则 \(0<\lambda_n\le1\ \wedge\ \lambda_n\to1\ \wedge\ \frac{a_N}{b_n}\to0\)；由恒等式

\[\frac{a_n}{b_n}=\frac{a_n-a_N}{b_n-b_N}\cdot\lambda_n+\frac{a_N}{b_n}\le M\lambda_n+\frac{a_N}{b_n} \]

取 \(\varlimsup\) \(\Rightarrow\) \(\varlimsup\frac{a_n}{b_n}\le M\cdot1+0=M\)。

证 (B) 对 \(-a_n\) 用 (A) \(\wedge\) 恒等式 \(\varliminf x_n=-\varlimsup(-x_n)\) \(\Rightarrow\) (B)。■

定理

\[{\ \varliminf\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\ \le\ \varliminf\frac{a_n}{b_n}\ \le\ \varlimsup\frac{a_n}{b_n}\ \le\ \varlimsup\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\ } \]

证 中间不等式恒真。记 \(\Lambda_\pm:=\varlimsup/\varliminf\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\).

• 右端：\(\Lambda_+=+\infty\) \(\Rightarrow\) 平凡。否则 \(\forall M>\Lambda_+\ \exists N\ \forall k\ge N:\ \frac{\Delta a_k}{\Delta b_k}\le M\)（\(\varlimsup\) 的 eventual 上界刻画）\(\Rightarrow\) (A) \(\Rightarrow\) \(\varlimsup\frac{a_n}{b_n}\le M\)；令 \(M\downarrow\Lambda_+\) \(\Rightarrow\) \(\varlimsup\frac{a_n}{b_n}\le\Lambda_+\)。
• 左端：对偶。\(\forall m<\Lambda_-\ \exists N\ \forall k\ge N:\ m\le\frac{\Delta a_k}{\Delta b_k}\) \(\Rightarrow\) (B) \(\Rightarrow\) \(\varliminf\frac{a_n}{b_n}\ge m\)；令 \(m\uparrow\Lambda_-\) \(\Rightarrow\) \(\varliminf\frac{a_n}{b_n}\ge\Lambda_-\)。\(\blacksquare\)

推论 1

\[\lim\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=A\in\mathbb R\ \Longleftrightarrow\ \forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall k\ge N:\ A-\varepsilon\le\frac{\Delta a_k}{\Delta b_k}\le A+\varepsilon \]

\[\Rightarrow\ (\text{B})\wedge(\text{A})\ \Rightarrow\ A-\varepsilon\le\varliminf\frac{a_n}{b_n}\le\varlimsup\frac{a_n}{b_n}\le A+\varepsilon\ \xrightarrow{\ \varepsilon\to0\ }\ \varliminf=\varlimsup=A\ \Rightarrow\ \frac{a_n}{b_n}\to A . \]

推论 2（逆命题 \(\neg\)）

\[\frac{a_n}{b_n}\to A\ \nRightarrow\ \frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\to A . \]

反例：\(b_n:=n\ \wedge\ \Delta a_n:=(-1)^n\) \(\Rightarrow\) \(a_n\in\{-1,0\}\)，故

\[\tfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=(-1)^n:\ \varliminf=-1,\ \varlimsup=1;\qquad \tfrac{a_n}{b_n}\in\bigl\{-\tfrac1n,0\bigr\}\to0, \]

\[\Longrightarrow\ -1=\varliminf\tfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\ <\ 0=\varliminf\tfrac{a_n}{b_n}=\varlimsup\tfrac{a_n}{b_n}\ <\ 1=\varlimsup\tfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}. \]

注

• \(0/0\) 型平行版：\(\Delta\to\nabla\ \wedge\ b_n\searrow0\ \wedge\ b_n>0\ \wedge\ a_n\to0\) \(\Rightarrow\) 同一串不等式成立

例题

约定：\(b_n\nearrow+\infty\ \wedge\ \Delta b_n>0\)；对 \(a_n\)：\(\neg\)要求 \(a_n\to\pm\infty\)、\(a_n\) 单调、\(a_n\) 有界（\(\equiv\) 无附加条件）。\(\overline{\mathbb R}:=\mathbb R\cup\{+\infty,-\infty\}\)。

例 1 | Cesàro 平均

\[(x_n)\subset\mathbb R\ \wedge\ \lim x_n=A\in\overline{\mathbb R}\ \Longrightarrow\ \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\to A . \]

取 \(S_n:=\sum_{i=1}^n x_i\ \wedge\ b_n:=n\) \(\Rightarrow\) \(\Delta b_n\equiv1>0\ \wedge\ b_n\to+\infty\ \wedge\ \frac{\Delta S_n}{\Delta b_n}=x_{n+1}\to A\) \(\Rightarrow\) (Stolz-A) \(\frac{S_n}{n}\to A\).

例 2 | 幂和

\[k\in\mathbb N\ \wedge\ S_n:=\sum_{i=1}^n i^k\ \wedge\ b_n:=n^{k+1}\ \Longrightarrow\ \lim\frac{S_n}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1} . \]

\(\frac{\Delta S_n}{\Delta b_n}=\dfrac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}\)；二项式（有限展开，\(k\in\mathbb N\)）：
\((n+1)^k=n^k+kn^{k-1}+O(n^{k-2})\)；
\((n+1)^{k+1}-n^{k+1}=(k+1)n^k+\binom{k+1}{2}n^{k-1}+O(n^{k-2})\).
\(\Rightarrow\) \(\frac{\Delta S_n}{\Delta b_n}=\dfrac{n^k+O(n^{k-1})}{(k+1)n^k+O(n^{k-1})}\to\dfrac{1}{k+1}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{S_n}{n^{k+1}}\to\frac{1}{k+1}\).

例 3 | 调和级数 vs 对数

\(H_n:=\sum_{i=1}^n\frac1i\ \wedge\ b_n:=\ln n\)（\(\ln n\nearrow+\infty\ \wedge\ n\ge2\Rightarrow b_n>0\)）

\[\frac{\Delta H_n}{\Delta b_n}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\ln(1+\frac1n)}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1/n}{\ln(1+1/n)} . \]

\(t:=\frac1n\to0^+\ \wedge\ \frac{\ln(1+t)}{t}\to1\ \wedge\ \frac{n}{n+1}\to1\) \(\Rightarrow\) \(\frac{\Delta H_n}{\Delta b_n}\) \(\to1\) \(\Rightarrow\) \(\frac{H_n}{\ln n}\to1\).

例 4 | \(n!\) 的几何平均

\[L_n:=\ln\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{\ln n!-n\ln n}{n},\qquad a_n:=\ln n!-n\ln n\ \wedge\ b_n:=n . \]

\(\Delta a_n=\ln(n+1)-(n+1)\ln(n+1)+n\ln n=-n\ln\!\left(1+\tfrac1n\right)\)，\(\Delta b_n=1\)。
\(\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=-n\ln\!\left(1+\tfrac1n\right)=-\ln\!\left(1+\tfrac1n\right)^n\to-\ln e=-1\) \(\Rightarrow\) \(\frac{a_n}{b_n}\to-1\) \(\Rightarrow\) \(L_n\to-1\)
\(\Rightarrow\) (\(\exp\) 连续) \(\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=e^{L_n}\to e^{-1}=\frac1e\).

例 5 | \(\frac{\ln n}{n}\to0\)

\(a_n:=\ln n\ \wedge\ b_n:=n\) \(\Rightarrow\) \(\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=\dfrac{\ln(1+\frac1n)}{1}\to0\) \(\Rightarrow\) \(\frac{a_n}{b_n}\to0\)。

进阶：幂和的渐近阶梯（Stolz 连用）

\(S_n:=\sum_{i=1}^n i^k\)，\(k\in\mathbb N\)：

\[\frac{S_n}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2n}+\frac{k}{12n^2}+O(n^{-2}) \]

（逐项存在条件：\(\frac{1}{2n}\) 项需 \(k\ge1\)；\(\frac{k}{12n^2}\) 项需 \(k\ge2\)——Faulhaber 中 Bernoulli 项 \(B_j\) 仅对 \(j\le k\) 出现。）

(S1) 一阶 \(k\ge0\) \(\Rightarrow\) \(\frac{S_n}{n^{k+1}}\to\frac{1}{k+1}\)（例 2）.

(S2) 二阶 \(k\ge1\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\lim n\Bigl(\frac{S_n}{n^{k+1}}-\frac{1}{k+1}\Bigr)=\frac12\).
证：\(n(\frac{S_n}{n^{k+1}}-\frac{1}{k+1})=\frac{u_n}{v_n}\)，\(u_n:=(k+1)S_n-n^{k+1}\)，\(v_n:=(k+1)n^k\)（\(k\ge1\Rightarrow v_n\nearrow+\infty\)）。
\(\Delta u_n=(k+1)(n+1)^k-[(n+1)^{k+1}-n^{k+1}]=\frac{k(k+1)}{2}n^{k-1}+O(n^{k-2})\)；
\(\Delta v_n=(k+1)[(n+1)^k-n^k]=k(k+1)n^{k-1}+O(n^{k-2})\)；
\(\Rightarrow\) \(\frac{\Delta u_n}{\Delta v_n}\to\dfrac{k(k+1)/2}{k(k+1)}=\frac12\) \(\Rightarrow\) \(\frac{u_n}{v_n}\to\frac12\).

(S3) 三阶 \(k\ge2\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\lim n^2\Bigl(\frac{S_n}{n^{k+1}}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{2n}\Bigr)=\frac{k}{12}\)。
证：\(n^2(\cdots)=\frac{\tilde u_n}{\tilde v_n}\)，\(\tilde u_n:=(k+1)S_n-n^{k+1}-\frac{k+1}{2}n^k\)，\(\tilde v_n:=(k+1)n^{k-1}\)（\(k\ge2\Rightarrow\tilde v_n\nearrow+\infty\)）。
\(\Delta\tilde u_n=\Delta u_n-\frac{k+1}{2}[(n+1)^k-n^k]=\frac{(k+1)k(k-1)}{12}n^{k-2}+O(n^{k-3})\)；
\(\Delta\tilde v_n=(k+1)[(n+1)^{k-1}-n^{k-1}]=(k+1)(k-1)n^{k-2}+O(n^{k-3})\)；
\(\Rightarrow\) \(\frac{\Delta\tilde u_n}{\Delta\tilde v_n}\to\dfrac{(k+1)k(k-1)/12}{(k+1)(k-1)}=\frac{k}{12}\).

对照：离散 vs 连续

\[p\in\mathbb R\ \wedge\ p>-1\ \Longrightarrow\ \frac{1^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}\to\frac{1}{p+1} . \]

(D) Stolz（离散） \(\frac{\Delta S_n}{\Delta b_n}=\dfrac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\dfrac{(1+\frac1n)^p}{n\bigl[(1+\frac1n)^{p+1}-1\bigr]}\)。
用函数极限 \(\lim\limits_{t\to0}\frac{(1+t)^\alpha-1}{t}=\alpha\)（\(t=\frac1n\)）：\(n[(1+\frac1n)^{p+1}-1]\to p+1\ \wedge\ (1+\frac1n)^p\to1\) \(\Rightarrow\) 差分比 \(\to\frac{1}{p+1}\)。

(C) Riemann 和 + Newton–Leibniz（连续） \(\frac{1^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{i=1}^n\bigl(\frac in\bigr)^p\to\int_0^1x^pdx=\frac{1}{p+1}\)（\(p>-1\ \Leftrightarrow\) 积分收敛）.

进阶：卷积平均

\[\bigl(a_n\to a\in\mathbb R\bigr)\ \wedge\ \bigl(b_n\to b\in\mathbb R\bigr)\ \Longrightarrow\ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i\,b_{n+1-i}\to ab \]

证

(S1) \(c_n:=b_n-b\ \Rightarrow\ c_n\to0\ \wedge\ b_{n+1-i}=c_{n+1-i}+b\ \Rightarrow\)

\[\frac1n\sum_{i=1}^n a_i b_{n+1-i}=\underbrace{\frac1n\sum_{i=1}^n a_i c_{n+1-i}}_{=:T_n}+b\cdot\underbrace{\frac1n\sum_{i=1}^n a_i}_{=:A_n} \]

(S2) \(S_n:=\sum_{i\le n}a_i\ \wedge\ b_n:=n\ \Rightarrow\ \frac{\Delta S_n}{\Delta b_n}=a_{n+1}\to a\ \Rightarrow\ A_n\to a\ \Rightarrow\ bA_n\to ab\)

(S3) \(a_n\to a\ \Rightarrow\ \exists B<\infty\ \forall n:\ |a_n|\le B\)；\(c_n\to0\ \Rightarrow\ |c_n|\to0\ \Rightarrow\ C_n:=\frac1n\sum_{j\le n}|c_j|\to0\)；\(i\mapsto j:=n+1-i\) 为 \(\{1,\dots,n\}\) 上双射 \(\Rightarrow\ \sum_{i}|c_{n+1-i}|=\sum_j|c_j|\ \Rightarrow\)

\[|T_n|\le\frac{B}{n}\sum_{i=1}^n|c_{n+1-i}|=BC_n\to0 \]

(S4) \(T_n+bA_n\to0+ab=ab\) \(\blacksquare\)

进阶：幂平均

\[\bigl(a_n>0\ \forall n\bigr)\ \wedge\ \bigl(a_n\to a\in(0,+\infty)\bigr)\ \Longrightarrow\ M_n^{\,n}\to a,\qquad M_n:=\frac1n\sum_{i=1}^n a_i^{1/n},\quad \sigma_n:=\frac1n\sum_{i=1}^n\ln a_i \]

证
(a) \(a_n\to a\ \wedge\ \ln\in C(0,\infty)\ \Rightarrow\ \ln a_n\to\ln a\ \Rightarrow\ \exists C<\infty\ \forall i:\ |\ln a_i|\le C\)

(b) \(t_{i,n}:=\frac{\ln a_i}{n}\ \Rightarrow\ |t_{i,n}|\le\frac Cn\to0\)（对 \(i\le n\) 一致）；\(\exists K\ \forall|t|\le1:\ |e^t-1-t|\le Kt^2\ \Rightarrow\)

\[a_i^{1/n}=1+\frac{\ln a_i}{n}+r_{i,n},\qquad |r_{i,n}|\le\frac{KC^2}{n^2}\ \ (\forall i\le n) \]

(c) \(M_n=1+\frac{\sigma_n}{n}+R_n,\qquad |R_n|\le\frac1n\cdot n\cdot\frac{KC^2}{n^2}=\frac{KC^2}{n^2}\)

(d) \(b_n:=n\ \Rightarrow\ \frac{\Delta\sum_{i\le n}\ln a_i}{\Delta b_n}=\ln a_{n+1}\to\ln a\ \Rightarrow\ \sigma_n\to\ln a\)（\(\Rightarrow\ \sigma_n\) 有界）

(e) \(\varepsilon_n:=M_n-1=O(n^{-1})\to0\ \Rightarrow\)

\[n\ln M_n=n\bigl(\varepsilon_n+O(\varepsilon_n^2)\bigr)=\sigma_n+\underbrace{nR_n}_{O(n^{-1})\to0}+\underbrace{nO(\varepsilon_n^2)}_{n\cdot O(n^{-2})\to0}\to\ln a \]

(f) \(M_n^{\,n}=e^{n\ln M_n}\to e^{\ln a}=a\) \(\blacksquare\)

固定 \(m\) 个数

\[\bigl(m\in\mathbb N\ \text{固定}\bigr)\ \wedge\ \bigl(a_1,\dots,a_m>0\bigr)\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to0}\Bigl(\frac{a_1^x+\cdots+a_m^x}{m}\Bigr)^{1/x}=G:=(a_1\cdots a_m)^{1/m} \]

证

(a) \(F(x):=\frac1m\sum_{i=1}^{m}e^{x\ln a_i}\ \Rightarrow\ F\in C^\infty(\mathbb R)\ \wedge\ F(0)=1\ \wedge\ F'(0)=\frac1m\sum_{i=1}^m\ln a_i=\ln G\)

(b) \(F(0)=1\ \wedge\ F\) 连续 \(\Rightarrow\ \exists\delta>0\ \forall|x|<\delta:\ F(x)>0\ \Rightarrow\)

\[\frac{\ln F(x)}{x}=\frac{\ln F(x)-\ln F(0)}{x-0}\xrightarrow[x\to0]{}(\ln\circ F)'(0)=\frac{F'(0)}{F(0)}=\ln G \]

(c) \(\displaystyle\Bigl(\frac{a_1^x+\cdots+a_m^x}{m}\Bigr)^{1/x}=\exp\Bigl(\frac{\ln F(x)}{x}\Bigr)\to e^{\ln G}=G\) \(\blacksquare\)

其他

• Stefanović \(q>1\ \wedge\ p\in\mathbb N\ \Rightarrow\ \frac{n^p}{q^n}\to0\)；Stolz 对 \(p\ge4\) "很费劲"（otežano），建议自试 \(p=4,q=2\)。

原因：\(a_n:=n^p\ \wedge\ b_n:=q^n\ \Rightarrow\ \frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=\frac{(n+1)^p-n^p}{q^n(q-1)}=\frac{O(n^{p-1})}{q^n(q-1)}\)，每次连用降 \(\deg\) 恰 \(1\) \(\Rightarrow\) 需连用 \(p\) 次 \(\Rightarrow\) 计算量 \(\propto p\)。

对比比值法：

\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^p\frac1q\to\frac1q<1\ \Rightarrow\ \exists N\ \exists r<1\ \forall n\ge N:\ \frac{a_{n+1}}{a_n}\le r\ \Rightarrow\ a_n\le a_Nr^{\,n-N}\to0 \]

• 幂和对实数指数 \(k\in\mathbb R\ \wedge\ k>-1\ \wedge\ k\notin\mathbb N\) \(\Rightarrow\) 二项式有限展开不可用 \(\Rightarrow\) Stolz 仅覆盖 \(k\in\mathbb N\)（须改用函数极限 \(\frac{(1+t)^{k+1}-1}{t}\to k+1\) 或定积分 \(\int_0^1x^kdx\)）。

步长 \(p\) 的推广
(G-p) \(p\in\mathbb N^+\ \wedge\ (\forall n:\ y_{n+p}>y_n)\ \wedge\ (y_n\to+\infty)\ \wedge\ \Bigl(\dfrac{x_{n+p}-x_n}{y_{n+p}-y_n}\to A\in\overline{\mathbb R}\Bigr)\ \Longrightarrow\ \dfrac{x_n}{y_n}\to A\)

• \(p=1\ \Rightarrow\ y_{n+1}>y_n\ \wedge\) 相邻差 \(\Rightarrow\) (G-1) \(\equiv\) Stolz-A
• 不要求逐步单调：\(p=2\ \Rightarrow\ y_{n+2}>y_n\ \equiv\) 奇子列 \(\wedge\) 偶子列各自递增，不要求 \(y_{n+1}>y_n\)（可交错振荡）\(\Rightarrow\) (G-p) 严格弱于经典 \((A1)\)
• 经典 Stolz 不适用：仅给非相邻信息 \(a_{n+p}-a_n\ (p\ge2)\) \(\Rightarrow\) \(\Delta a_n=a_{n+1}-a_n\) 不可算

证
(P1) 良定义性 \(y_{n+p}-y_n>0\ \forall n\) \(\Rightarrow\) 差分比分母 \(\neq0\)；\(y_n\to+\infty\ \Rightarrow\ \exists N_0\ \forall n\ge N_0:\ y_n>0\ \Rightarrow\ \frac{x_n}{y_n}\) 对 \(n\ge N_0\) 有定义
(P2) 拆子列 固定 \(i\in\{0,1,\dots,p-1\}\) \(\wedge\) 取 \(m_i:=\min\{m:\ mp+i\ge N_0\}\)，定义

\[x^{(i)}_m:=x_{mp+i},\qquad y^{(i)}_m:=y_{mp+i}\qquad(m\ge m_i) \]

(P3) 验证 (Stolz-A) 三条件（逐条子列）

• \(y^{(i)}_{m+1}-y^{(i)}_m=y_{(m+1)p+i}-y_{mp+i}=\bigl(y_{n+p}-y_n\bigr)\big|_{n=mp+i}>0\) \(\Rightarrow\) \((y^{(i)}_m)\) 严格递增
• \(y^{(i)}_m=y_{mp+i}\ \wedge\ mp+i\xrightarrow[m\to\infty]{}\infty\ \wedge\ y_n\to+\infty\) \(\Rightarrow\) \(y^{(i)}_m\to+\infty\)
• \(\dfrac{x^{(i)}_{m+1}-x^{(i)}_m}{y^{(i)}_{m+1}-y^{(i)}_m}=\dfrac{x_{n+p}-x_n}{y_{n+p}-y_n}\Big|_{n=mp+i}\ \wedge\ n=mp+i\to\infty\) \(\Rightarrow\) 差分比 \(\to A\)

(P4) 套经典 (Stolz-A) \(\Rightarrow\ \dfrac{x^{(i)}_m}{y^{(i)}_m}\to A\qquad(\forall i\in\{0,\dots,p-1\})\)

(P5) 有限覆盖 \(\{n\ge N_0\}=\bigsqcup_{i=0}^{p-1}\{mp+i:\ m\ge m_i\}\)（模 \(p\) 分划）。\(A\in\mathbb R\) 时：\(\forall\varepsilon>0\ \forall i\ \exists M_i\ \forall m\ge M_i:\ \bigl|\frac{x^{(i)}_m}{y^{(i)}_m}-A\bigr|<\varepsilon\)；取

\[M:=\max_{0\le i\le p-1}M_i<\infty\ \wedge\ N:=(p-1)+pM \]

\(\Rightarrow\) \(\forall n\ge N\ \exists!\,(i,m):\ n=mp+i\ \wedge\ m\ge\frac{n-(p-1)}{p}\ge M\ge M_i\) \(\Rightarrow\) \(\bigl|\frac{x_n}{y_n}-A\bigr|<\varepsilon\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{x_n}{y_n}\to A\) \(\blacksquare\)
（\(A=\pm\infty\)：各 \(M_i\) 取单侧阈值，\(\max\) 仍有限，同 \((P5)\)）

应用：2011 年第三届全国大学生数学竞赛预赛（非数学类）

\[\bigl(\exists p\in\mathbb N^+\bigr)\ \wedge\ \bigl(\lim(a_{n+p}-a_n)=\lambda\bigr)\ \Longrightarrow\ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=\frac{\lambda}{p} \]

证明
\(y_n:=n\ \Rightarrow\ y_{n+p}-y_n=p>0\ \wedge\ y_n\to+\infty\ \wedge\ \dfrac{a_{n+p}-a_n}{y_{n+p}-y_n}=\dfrac{a_{n+p}-a_n}{p}\to\dfrac{\lambda}{p}\) \(\Rightarrow\) (G-p) \(\dfrac{a_n}{n}\to\dfrac{\lambda}{p}\) \(\blacksquare\)

平均值推论

\[\bigl(a_n>0\ \forall n\bigr)\ \wedge\ \bigl(a_n\to a>0\bigr)\ \Longrightarrow\ A_n\to a\ \wedge\ H_n\to a\ \wedge\ G_n\to a \]

\[A_n:=\frac{a_1+\cdots+a_n}{n},\qquad H_n:=\frac{n}{\frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_n}},\qquad G_n:=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n} \]

(M1) 算术平均 \(S_n:=\sum_{i\le n}a_i\ \wedge\ b_n:=n\ \Rightarrow\ \frac{\Delta S_n}{\Delta b_n}=a_{n+1}\to a\ \Rightarrow\) (Stolz-A) \(A_n\to a\) \(\blacksquare\)

(M2) 调和平均 \(c_n:=\frac1{a_n}\ \wedge\ a>0\ \wedge\ x\mapsto\frac1x\in C(0,\infty)\ \Rightarrow\ c_n\to\frac1a>0\)；由 (M1) 施于 \((c_n)\)：

\[\frac{c_1+\cdots+c_n}{n}\to\frac1a\ \Rightarrow\ H_n=\Bigl(\frac1n\sum_{i=1}^n\frac1{a_i}\Bigr)^{-1}\to\Bigl(\frac1a\Bigr)^{-1}=a \]

\(\blacksquare\)

(M3) 几何平均 \(H_n\le G_n\le A_n\)（经典均值不等式，对 \(a_1,\dots,a_n>0\)）\(\wedge\ H_n\to a\ \wedge\ A_n\to a\ \Rightarrow\) (夹逼) \(G_n\to a\) \(\blacksquare\)

推论（根值 \(\leftrightarrow\) 比值）

\[\bigl(a_n>0\ \forall n\bigr)\ \wedge\ \Bigl(\frac{a_n}{a_{n-1}}\to b>0\Bigr)\ \Longrightarrow\ \sqrt[n]{a_n}\to b \]

证 取 \(a_0:=1\ \wedge\ r_k:=\frac{a_k}{a_{k-1}}>0\ (k\ge1)\) \(\Rightarrow\)

\[a_n=\prod_{k=1}^{n}r_k\ \Rightarrow\ \sqrt[n]{a_n}=\Bigl(\prod_{k=1}^{n}r_k\Bigr)^{1/n}\equiv G_n(r) \]

\(\equiv\) \((r_k)_{k\le n}\) 的几何平均；由 \(r_k\to b>0\) \(\Rightarrow\) (M3) \(G_n(r)\to b\) \(\Rightarrow\) \(\sqrt[n]{a_n}\to b\) \(\blacksquare\)

根值判别法 \(\succ\) 比值判别法（正项级数）

\[\Bigl(\frac{a_n}{a_{n-1}}\to b\Bigr)\ \Rightarrow\ \bigl(\sqrt[n]{a_n}\to b\bigr)\ \implies\ \text{(d'Alembert)}\ ⊂\ \text{(Cauchy)} \]

反例 \(a_n:=1\ (n\) 奇\()\ \wedge\ a_n:=2\ (n\) 偶\()\) \(\Rightarrow\)

\[\sqrt[n]{a_n}\in\{1,\sqrt[n]{2}\}\ \wedge\ \sqrt[n]{2}\to1\ \Rightarrow\ \sqrt[n]{a_n}\to1; \]

\[\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac12\ (n\ \text{偶})\ \vee\ 2\ (n\ \text{奇})\ \Rightarrow\ \varliminf\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac12<1<2=\varlimsup\frac{a_n}{a_{n-1}}\ \Rightarrow\ 不存在\lim\frac{a_n}{a_{n-1}} \]

\(\Rightarrow\) Cauchy 根值法适用面严格大于 d'Alembert 比值法（\(\sqrt[n]{a_n}\) 收敛时比值可振荡无极限）\(\blacksquare\)

Z 变换终值定理（加权 Abel 平均形式）

\[A(z):=\sum_{n\ge0}a_nz^n,\qquad B(z):=\sum_{n\ge0}b_nz^n,\qquad z\in(0,1) \]

(Z/Abel 视角的终值定理)

\[\bigl(b_n>0\ \forall n\bigr)\ \wedge\ \bigl(B(z)\xrightarrow[z\to1^-]{}+\infty\bigr)\ \wedge\ \Bigl(\exists\lim\tfrac{a_n}{b_n}=L\in\mathbb R\Bigr)\ \Longrightarrow\ \lim_{z\to1^-}\frac{A(z)}{B(z)}=L \]

证（Abel 型三行估计） \(\varepsilon_n:=\frac{a_n}{b_n}-L\to0\ \Rightarrow\ a_n=Lb_n+\varepsilon_nb_n\ \Rightarrow\ A(z)=LB(z)+\sum_{n\ge0}\varepsilon_nb_nz^n\)。

\(\forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N:\ |\varepsilon_n|<\varepsilon\)；\(b_n>0\ \wedge\ z\in(0,1)\ \Rightarrow\ \sum_{n\ge N}b_nz^n\le B(z)\ \wedge\ \sum_{n<N}|\varepsilon_n|b_nz^n\le C_N:=\sum_{n<N}|\varepsilon_n|b_n<\infty\) \(\Rightarrow\)

\[\Bigl|\frac{A(z)}{B(z)}-L\Bigr|\le\frac{\varepsilon B(z)+C_N}{B(z)}=\varepsilon+\frac{C_N}{B(z)}\ \xrightarrow[z\to1^-]{B(z)\to+\infty}\ \varepsilon\ \xrightarrow{\ \varepsilon\to0\ }\ 0\qquad\blacksquare \]

（\(\neg\)能判出"极限不存在"）

\[a_n:=(-1)^n\ \wedge\ b_n:=1\ \Rightarrow\ A(z)=\frac{1}{1+z}\ \wedge\ B(z)=\frac{1}{1-z}\ \Rightarrow\ \frac{A(z)}{B(z)}=\frac{1-z}{1+z}\xrightarrow[z\to1^-]{}0 \]

\[\wedge\ \frac{a_n}{b_n}=(-1)^n\ \Rightarrow\ \varliminf\frac{a_n}{b_n}=-1<1=\varlimsup\frac{a_n}{b_n}\ \Rightarrow\ 不存在\lim\frac{a_n}{b_n} \]

\[\Rightarrow\ \Bigl(\frac{A(z)}{B(z)}\to0\Bigr)\ \wedge\ \neg\Bigl(\exists\lim\frac{a_n}{b_n}\Bigr)\ \Rightarrow\ \neg\Bigl[\ \frac{A(z)}{B(z)}\to L\ \Longrightarrow\ \frac{a_n}{b_n}\to L\ \Bigr] \]