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摘要： 欧拉函数 定义与 \(m\)互素的剩余类的个数记为\(\varphi(m), \varphi(m)\)称之为欧拉函数 关于欧拉函数的结论 定理1: (欧拉定理) 若\((k, m)=1,\) 则:\(k^{\varphi(m)} \equiv 1(\bmod m)\) 定理2: (费尔玛小定理) 若 阅读全文

摘要： 同余 \(n\)为自然数，\(a,b\)为任意两个整数，如果\(n|a-b\)，我们就称\(a\)与\(b\)模\(n\)同余，记作\(a \equiv b(modn)\) 模\(n\)同余具有自反性、对称性、传递性 全体整数集合\(Z\)可按模\(n（n>1）\)被分成了\(n\)个不同的集合，这 阅读全文

摘要： 带余除法 设\(a,b\)为整数，\(b>0\),则存在唯一整数\(q\)和\(r\)使得 $ a=qb + r,0\leq r <b $ 带余除法又称欧几里得除法 整除 定义 如果余数\(r=0\), 那么, 我们就称\(b\)整除了\(a\), 记作\(b|a\); 这时我们也称\(b\)是\( 阅读全文

摘要： 域 基本定义 定义：若\(R\)是一个环，并且\(R^*=R\setminus\{0\}\)对于乘法构成一个交换群，则称\(R\)为一个域 定义：交换除环叫作域 定理：域一定是整环 定理：有限整环一定是域 定义：只包含有限个元素的域称为有限域，其元素个数称为该域的阶。有限域又叫作伽罗瓦域(Galoi 阅读全文

摘要： 同构与同态 基本定义 设\(R\)和\(R'\)是两个环，\(f\)是\(R\)到\(R'\)的一个映射，如果\(\forall a,b\in R\),均有: \(f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b)\) 则称\(f\)为从\(R\)到\(R'\)的同态映射 分类 若\( 阅读全文

摘要： 子环 定义 设\((R,+,\cdot)\)是一个环，\(S\)是\(R\)的非空子集，如果\(S\)关于\(R\)的运算也构成一个环，则称\(S\)为环\(R\)的子环 例：\((m\mathbb{Z},+,\cdot)\)是整数环\(\mathbb{Z}\)的子环，整数环\(\mathbb{Z} 阅读全文

摘要： 环 定义 设\(R\)是一个非空集合，在R上定义两种代数运算“+”和“·”，分别被称为加法和乘法，如果下列条件被满足： (1)\((R,+)\)是一个交换群 (2) \(R\)关于乘法“·”，满足结合律，即\(\forall a,b,c\in R\)，有 \[(a·b)·c=a·(b·c) \](3 阅读全文

摘要： 元素的阶 定义 设G是一个群，a是G中的一个元素，则子群\(<a>\)的阶称为元素a的阶，记为\(|a|\)或\(ord(a)\) 设G是一个群，a是G中的一个元素，e为单位元，使 \[[ a^k = e ] \]成立的最小正整数\(k\)称为元素\(a\)的阶. 若\(a\)的阶为\(n\)，记为 阅读全文

摘要： 置换群 变换群与置换群 设\(X\)为非空集合，集合\(X\)到\(X\)的一对一变换称为双射变换，X上全体双射变换集合记成T(X)。如果X为有限集合，则称T(X)中的元素为X上的置换。 在T(X)中引入一个二元运算$\circ $, \(\forall α,β∈T(X)\)，定义\(α\circ 阅读全文

摘要： 同态与同构 群的同态 设\((G,\cdot)\)和\((G', \odot )\)是两个群，若存在映射\(f: G\to G'\)满足：\(\forall a,b\in G\),均有 \[f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b) \]则称\(f\)是\(G\)到\(G'\)的一个同态映 阅读全文