文章分类 - xjd的学习笔记
摘要：支配集 一张无向图，如果一个点集使所有点要么在点集中，要么与点集中的一个点相邻，则称这个点集是图的一个支配集。最小支配集大小记作 \(\gamma(G)\)。求一般图的最小支配集是 NP-hard 的。 考虑如何求树的最小支配集，有贪心和 DP 两种方式。 贪心时，按 DFS 序倒序处理，能保证当前
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摘要：定义 欧拉回路：通过图中每条边恰好一次的回路。 欧拉通路：通过图中每条边恰好一次的通路。 欧拉图：具有欧拉回路的图。 半欧拉图：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图。 欧拉图的判定 经过一个点，除了起点和终点必然有进有出。因此可以得到欧拉图的判定： 无向图是欧拉图或半欧拉图需要去掉孤立点后联通。欧拉图没
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摘要：强连通分量 定义 若一张有向图的节点两两互相可达，则称这张图是强连通的。 一张有向图的强连通分量是极大的强连通子图。 Tarjan算法 前置知识：dfs树 DFS 树就是对图进行 DFS 形成的图的生成树。通过 DFS 树可以把边分为四类： 1.树边：DFS 树上的边。 2.返祖边：不在 DFS 树
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摘要：基本概念 二分图是一种特殊的无向图。图的节点可以被分成两个部分，满足没有边连接相同的部分，记两个部分为左部点和右部点。 一张图的匹配，就是选出一些边没有公共顶点，最大匹配就是选出的边数最多。 增广路算法 增广路： 交错路始于非匹配点且由匹配边与非匹配边交错而成。 增广路是始于非匹配点且终于非匹配点的
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摘要：过程 差分约束算法可求解不等式组，其中每组不等式形如 \(x_u-x_v\leq w\)。 实际上这是一道图论题。 式子变成 \(x_u\leq x_v+w\)，观察这个式子，发现它很像最短路的松弛 \(dis(u)=\min(dis(u),dis(v)+w(u,v))\)。对于每一个不等式，从 \
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摘要：排列组合数 排列：\(A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}\) 表示 \(n\) 个不同物品，选 \(m\) 个按一定的顺序的情况数。 组合：\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\) 表示 \(n\) 个不同物品，选 \(m\) 个的情况数。 几个简单的式子： \(C_n
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摘要：中国剩余定理 中国剩余定理（Chinese remainder theorem, CRT）可以求解如下形式的同余方程组： \[\left\{\begin{matrix}x\equiv b_1\pmod{a_1} \\x\equiv b_2\pmod{a_2} \\\vdots\\x\equiv b_
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摘要：过程 用来求求和符号内带有 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 的式子，例如 \(\sum_{i=1}^n f(i)\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)。 不难发现 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 的取值是成段的。当 \(i\le
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摘要：定义 线性空间：由向量集合 \(V\)、基域 \(\mathbb{P}\)，组成，其中定义向量加法，标量加法，数乘（标量乘向量）。其中向量加法满足封闭性、结合律、单位元、逆元、交换律，标量加法满足封闭性，数乘满足封闭性、对向量加法与标量加法的分配律、结合律、单位元。比如普通的向量和实数就构成线性空间
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摘要：定义 矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。 同型矩阵：行数和列数相同的两个矩阵。 方阵：行数等于列数的矩阵。 主对角线：方阵中行数等于列数的元素构成的对角线。 对角矩阵：主对角线之外的元素均为 \(0\) 的方阵，记作 \(\operatorname{diag}\{\lamb
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摘要：线性基 template<typename T,int maxn>struct basis{ T a[maxn]; basis(){ memset(a,0,sizeof(a)); } bool insert(T k){ for(int i=maxn-1;i>=0;i--){ if(k>>i&1){
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摘要：埃拉托斯特尼筛法 一个质数数的倍数一定为合数，因此可以在枚举到一个质数时对其倍数打标记。如果从小到大枚举到一个数未被标记，说明这个数为质数，因为没有更小的质因数了。 int prime_init(int n,int prime[],bool a[],int cnt=0){ for(int i=2;i
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摘要：定义 \(\varphi(n)\) 表示小于 \(n\) 的数中与 \(n\) 互质的个数，是一个重要的数论函数。 性质 若 \(n\) 为质数，则 \(\varphi(n)=n-1\)。 显然小于 \(n\) 的都与 \(n\) 互质。 若 \(n\) 为质数，则 \(\varphi(n^k)=n
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摘要：基本定义 数论函数：定义域为正整数的函数。 积性函数：满足 \(\forall n,m\in \mathbb{N}^+,\gcd(x,y)=1,f(x)f(y)=f(xy)\) 的函数 \(f\)。 完全积性函数：满足 \(\forall n,m\in \mathbb{N}^+,f(x)f(y)=f
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摘要：卢卡斯定理 概述 卢卡斯定理是这样一个式子：\(C_n^m\equiv C_{n\bmod p}^{m\bmod p}C_{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor}^{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor}\pmod{p}\)，其中 \(p\) 是质数。 通过这个式子可
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摘要：阶和原根 对于 \(a\in\mathbb{Z},m\in\mathbb{N}^+,\gcd(a,m)=1\)，定义 \(a\) 模 \(m\) 的阶 \(\delta_m(a)\) 为满足 \(a^n\equiv 1\pmod{m}\) 的最小正整数 \(n\)，记作 \(\delta_m(a)\
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摘要：概述 扩展欧几里得算法（exgcd）可以得到二元一次不定方程的可行解，过程比较像 \(\gcd\) 的欧几里得算法，是辗转相减的形式。 过程 对于关于 \(x,y\) 的不定方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\): 设 \(bx'+(a\bmod b)y'=\gcd(b,a\bmod b)\)
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摘要：1 集合与常用逻辑用语 集合的定义：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。元素可以是任何东西，比如数字、字符、线段甚至集合本身等。集合就是一堆元素。 集合具有确定性、互异性、无序性。集合中的元素必须确定，元素互不相同，并且没有顺序之分。 若构成两个集合的元素一样，则这两个集合相等。 若
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摘要：定义 如果 \(ax\equiv1\pmod{b}\)，则称 \(x\) 为 \(a\) 模 \(b\) 的乘法逆元。 乘法逆元可以处理模意义的除法，可以理解成模意义下的倒数。比如在乘法中 \(a\times \frac{1}{a}=1\)，也就是说倒数抵消了乘法，因此有 \(\frac{x}{a}
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摘要：定义 博弈论主要研究的是：在一个游戏中，进行游戏的多位玩家的策略。 OI 中出现比较多的是公平组合游戏，满足几点性质： 游戏有两个人参与，二者轮流做出决策，双方均知道游戏的完整信息； 任意一个游戏者在某一确定状态可以作出的决策集合只与当前的状态有关，而与游戏者无关； 游戏中的同一个状态不可能多次抵达
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