差分约束 学习笔记

过程

差分约束算法可求解不等式组，其中每组不等式形如 \(x_u-x_v\leq w\)。

实际上这是一道图论题。

式子变成 \(x_u\leq x_v+w\)，观察这个式子，发现它很像最短路的松弛 \(dis(u)=\min(dis(u),dis(v)+w(u,v))\)。对于每一个不等式，从 \(v\) 向 \(u\) 连边权 \(w\)，选一个起点跑 SPFA。如果图中无负环，最终的 \(dis\) 数组不能再松弛，也就是说满足 \(dis(u)\leq dis(v)+w(u,v)\)。那么 \(dis\) 数组就是一组可行解。

为了防止图不连通，建一个超级源点 \(0\)，向其他点连边权为 \(0\) 的边，以这个点为起点跑最短路。

如果最短路不存在，即存在负环，则无解。

建图方法

除了上面的方法，还可以把式子变成 \(x_u\geq x_v+w\) 的形式跑最长路。

差分约束的题一般需要变化式子。

P1260

套模板后，把可行解整体加上解的最小值即可。但是可以省掉后面的一步：

建超级源点其实增加了 \(n\) 组约束条件 \(x_i-x_0\leq 0\)，跑最短路求出的解是满足 \(x_i\leq x_0\) 的最大解。同理跑最长路求出的是满足 \(x_i\geq x_0\) 的最小解。

这一题把式子变为 \(t_j\geq t_i-b\) 跑最长路，将 \(dis_0\) 设为 \(0\) 即可。

P1993

\(x_u\geq x_v+w\)：\(x_v\leq x_u-w\)

\(x_u=x_v\)：\(x_u\leq x_v+0\)，\(x_v\leq x_u+0\)

P2294

\(\sum_{i=l}^{r}a_i=w\)：\(sum_r-sum_{l-1}=w\)，\(sum_r\leq sum_{l-1}+w\)，\(sum_{l-1}\leq sum_r-w\)

P4926

\(x_u\geq(k-t)x_v\)：\(\log (x_u)\geq\log (x_v)+\log(k+t)\)

\((k+t)x_u>x_v\)：\(\log (x_u)>\log (x_v)-\log(k-t)\)

\(x_u=k\)：\(x_0=0\)，\(\log(x_{0})\geq\log(x_u)+\log(k)\)，\(\log(x_u)\geq \log(x_{0})-\log(k)\)

[[图论]]