组合数学相关

排列组合数

排列：\(A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}\) 表示 \(n\) 个不同物品，选 \(m\) 个按一定的顺序的情况数。

组合：\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\) 表示 \(n\) 个不同物品，选 \(m\) 个的情况数。

几个简单的式子：

1. \(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)

定义。

2. \(C_n^m=C_n^{n-m}\)

组合意义：选 \(m\) 个等于 \(n\) 个中挑 \(n-m\) 个不选。

3. \(C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}\)

组合意义：固定一个物品选或不选，选的话剩下 \(n-1\) 个还要选 \(m-1\) 个，不选则剩下 \(n-1\) 个选 \(m\) 个。

4. \(\sum_{i=0}^{\min(n,m,k)}C_n^iC_m^{k-i}=C_{n+m}^k\)

范德蒙德卷积。类似第三条，从 \(n+m\) 个中取 \(m\) 个单独考虑，枚举这 \(m\) 个中选的个数。

5. \(C_n^m=C_n^{m-1}\times\frac{n-m+1}{m}\)

证明：

\[\begin{aligned}C_n^m&=\frac{n!}{m!(n-m)!}\\&=\frac{n!}{(m-1)!(n-m+1)!}\times\frac{n-m+1}{m}\\&=C_n^{m-1}\times\frac{n-m+1}{m}\end{aligned} \]

6. \(\sum_{i=0}^{n}C_n^i=2^n\)

组合意义：\(n\) 个中选任意个，相当于每个物品有选或不选两种可能，乘法原理。

7. \(\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_n^i=[n=0]\)

证明：

\(\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_n^i=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i(C_{n-1}^i+C_{n-1}^{i-1})\)

裂项相消。

8. \(\sum_{i=0}^{n}iC_n^i=n2^{n-1}\)

证明：

\[\begin{aligned}\sum_{i=0}^{n}iC_n^i&=\sum_{i=0}^{n}i\frac{n!}{i!(n-i)!}\\&=n\sum_{i=0}^{n}\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}\\&=n\sum_{i=0}^{n}C_{n-1}^{i-1}\\&=n2^{n-1}\end{aligned} \]

9. \(\sum_{i=0}^{n}i^2C_n^i=n(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}=n(n+1)2^{n-1}\)

证明：

\[\begin{aligned}\sum_{i=0}^{n}i^2C_n^i&=\sum_{i=0}^{n}i^2\frac{n!}{i!(n-i)!}\\&=n\sum_{i=0}^{n}i\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}\\&=n\sum_{i=0}^{n}iC_{n-1}^{i-1}\\&=n\sum_{i=0}^{n}(i-1)C_{n-1}^{i-1}+n\sum_{i=0}^{n}C_{n-1}^{i-1}\\&=n(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}\\&=n(n+1)2^{n-1}\end{aligned}\]

10. \(\sum_{i=n}^kC_i^n=C_{k+1}^{n+1}\)

证明：

\[\begin{aligned}C_n^n+C_{n+1}^n+C_{n+2}^n+\dots+C_k^n&=C_{n+1}^{n+1}+C_{n+1}^n+C_{n+2}^n+\dots+C_k^n\\&=C_{n+2}^{n+1}+C_{n+2}^n+C_{n+3}^n+\dots+C_k^n\\&=C_{n+3}^{n+1}+C_{n+3}^n+\dots+C_k^n\\&=C_k^{n+1}+C_k^n=C_{k+1}^{n+1}\end{aligned} \]

11. \(C_n^mC_m^k=C_n^kC_{n-k}^{m-k}\)

组合意义：等号左边表示 \(n\) 个中选 \(m\) 个，再从 \(m\) 个中选 \(k\) 个。等价于等号右边先从 \(n\) 个中选 \(k\) 个，再从剩下的 \(n-k\) 个中选 \(m-k\) 个与之前的 \(k\) 个组合成 \(m\) 个。

可重集排列组合

设可重集中有 \(n_1\) 个 \(a_1\)，\(n_2\) 个 \(a_2\)，\(n_k\) 个 \(a_k\)，那么其全排列为 \(\frac{n!}{\prod_{i=1}^kn_i!}\)，表示先不考虑重复，再对每一种元素分别去重。

从可重集选出 \(m\) 个元素，不考虑元素用尽的情况，通过插板法可得 \(C_{m+k-1}^{k-1}\)。

错排列

对于一个 \(1\sim n\) 的排列 \(P\)，如果所有元素都不在对应位置上，即 \(P_i\ne i\)，称 \(P\) 为 \(n\) 元错位排列。

设 \(n\) 元错位排列有 \(D_n\) 种，考虑如何转移：

若前 \(n-1\) 个全部错位，那么在前 \(n-1\) 个中挑一个位置与第 \(n\) 个交换，共 \(nD_{n-1}\) 种；

若前 \(n-1\) 个只有一个没错位，那么将这个位置与第 \(n\) 个交换，共 \(D_{n+2}\) 种。

得到错位排列数的递推式 \(D_n=nD_{n-1}+D_{n-2}\)。前几项为 \(0,1,2,9,44,265\)。

圆排列

\(n\) 个物品中选 \(m\) 个排列并围成一个圈，称为圆排列。此处方案数记为 \(Q_n^m\)

如果不考虑去重，那么有\(A_n^m\) 种。而选出任意 \(m\) 个物品都有 \(m\) 种循环位移，因此 \(Q_n^m=\frac{A_n^m}{m}=\frac{n!}{m(n-m)!}\)。

抽屉原理

\(n\) 个物品划分为 \(k\) 组，存在一组有至少 \(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\) 个物品。用反证法容易证明。

反过来同样成立，划分 \(n\) 组保证存在一组有至少 \(k\) 个物品，最少需要 \(nk+1\) 个物品。

二项式定理

二项式定理描述了二项式幂的系数：

\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}C_n^i a^{n-i}b^i \]

组合意义：\(a^{n-i}b^i\) 项的系数相当于在 \(n\) 个括号中选 \(n-i\) 个 \(a\) 与 \(i\) 个 \(b\) 相乘。

上面的很多性质可以用二项式定理证明。比如(6)为 \(a=1,b=1\)，(7)为 \(a=1,b=-1\)。

容斥原理

设元素有 \(n\) 种不同的属性，而第 \(i\) 种属性称为 \(P_i\)，拥有属性 \(P_i\) 的元素构成集合 \(S_i\)，那么 \( \left|\bigcup_{i=1}^{n}S_i\right|=\sum_{m=1}^n(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1} }\left|\bigcap_{i=1}^mS_{a_i}\right| \)。

比如二元的容斥原理：\(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\)；三元容斥原理：\(|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|\)。

卡特兰数

一个问题：\(n\) 个不同的元素，求入栈出栈顺序方案数。

设入栈为 \(1\)，出栈为 \(0\)，形成一个长 \(2n\) 的 \(01\) 串，有 \(n\) 个 \(0\) 和 \(1\)，一个合法的 \(01\) 串应满足任意位置前缀 \(1\) 的个数大于前缀 \(0\) 的个数。

对于一个不合法的串，将第一个前缀 \(0\) 的个数大于前缀 \(1\) 的个数的位置后面翻转。这样形成一个新的 \(01\) 串，有 \(n+1\) 个 \(0\) 和 \(n-1\) 个 \(1\)。

同样对于一个有 \(n+1\) 个 \(0\) 和 \(n-1\) 个 \(1\) 的 \(01\) 串，也将第一个前缀 \(0\) 的个数大于前缀 \(1\) 的个数的位置后面翻转，形成的序列有 \(n\) 个 \(0\) 和 \(1\)，并且一定不合法。

那么这两种 \(01\) 串的集合形成双射，因此不合法的情况共 \(C_{2n}^{n-1}\) 种，合法情况 \(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\) 种。

前面这个问题的答案就是卡特兰数。通项公式 \(H_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)。常用于组合计数。这个问题有以下一些等价形式：

长度为 \(2n\) 的合法的括号序列方案数（左括号 \(1\)，右括号 \(0\)）。

网格图上 \((0,0)\) 走到 \((n,n)\)，中途不越过直线 \(y=x\) 的方案数（向右 \(1\)，向上 \(0\)）。

\(n+1\) 个节点的二叉树，满足非叶节点有两个儿子，有多少种（dfs 时向左为 \(1\)，向右为 \(0\)）。

卡特兰数有以下一些公式：

\[H_n=\sum_{i=1}^{n}H_{i-1}H_{n-i} \]

\[H_n=\frac{H_{n-1}(4n-2)}{n+1} \]

\[H_n=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1} \]

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