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题目链接 \[\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^{n}lcm(i,n) & = n\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i}{\gcd(i,n)} \\ & = n\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^n\frac{i} 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:40
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Dijkstra Dijkstra 用来求图的单源最短路。它基于 BFS。时间复杂度为 $O(n \log{n} + m)$ 过程 初始化 $dis(r)$ 为 $0$ 对于源 $r$ 和每个节点 $p$ 及其 BFS 的节点集合 $d_i$，有如下过程： 判断已有的距离 $dis(d_i)$ 是 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:39
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题目链接 \[\begin{align*} x_{i+1} & \equiv a \times x_i + b \\ x_{i+1} + \frac{1}{b-a} & \equiv a(x_i+\frac{1}{b-a}) \\ \text{等差数列通项公式} \\ x_{n} + \frac{1 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:39
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题目链接 YY‘ GCD 令 \[f(x) = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i, j) = 1] \]\[F(x) = \sum\limits_{x|d}f(d)=\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\lfloor\fr 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:39
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题目链接 \[\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^n \gcd(i, n) & = \sum\limits_{d|n}d\sum\limits_{i = 1}^n[\gcd(i,n) == d] \\ & = \sum\limits_{d|n}d\sum\limits_ 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:39
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很多人看到这个名字 并查集就犯迷糊了。 因为他们无法理解 并查集 是什么意思。 其实并查集说白了也就两个功能， 合并和查询。 合并 假设我们有一个图， 图上有很多独立的点， 合并 就是把两个点连在一起。 查询 还是那个图， 查询 的意思就是看看他们是否连在一起。 并查集的不同之处 看到这里，有些人可 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:39
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栈 栈是一种先进后出的数据结构，你可以把栈想象成一个羽毛球筒子。先放的，反而会在底下，后方的则在上面。 栈的实现方法 手写栈 我们设置一个指针 \(top\) 表示当前的栈顶下标，用一个数组 \(a\) 来模拟栈。 入栈 当一个元素入栈时，\(top\) 加1， \(a_{top}\) 为入栈元素。 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:39
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根号分块 根号分块用于维护 区间信息。每次操作的复杂度为 $O(\sqrt{n})$ ，预处理的复杂度为 $O(n)$。 预处理 我们把 $a$ 分成 $\sqrt{n}$ 块，那么，第 $i$ 块的区间 $[L_i, R_i]$ 就为 $[(i-1)\sqrt{n}-1, i\sqrt{n}]$ 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:38
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线段树 线段树用于维护 区间信息。可以在 $O(\log{n})$ 的复杂度下完成区间修改，区间查询等操作。 建树 线段树是一棵二叉树。它的每个叶子结点 $p_i$ 对应着数组的每个值 $a_i$ ，而他们的父亲 $p_{{fa}_i}$ 存储的是它儿子节点的值之和。 我们递归建树即可。 Laz 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:38
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给定一个线性同余方程 \[\left\{ \begin{array}{lr} x \equiv a_1 \mod{p_1}\\ x \equiv a_2 \mod{p_2}\\ \vdots \\ x \equiv a_n \mod{p_n} \end{array} \right. \]模数两两互质 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:38
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整除分块 求 $$\sum \limits_{d=1}^{n} \lfloor \frac{n}{d} \rfloor$$ $n \leq 10^{18}$c 注意到 $\lfloor \frac{n}{d} \rfloor$ 对应 $d$ 的取值范围，所以我们只需要枚举 $\lfloor \fra 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:37
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Mobius 函数 \(\epsilon(n)\) 满足如下定义 \[\begin{cases} 1, \space \qquad \qquad n=1 \\ (-1)^s, \qquad \space n = p_1p_2\cdots p_s \\ 0, \qquad \qquad \space 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:37
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Euler 筛可以 \(O(n)\) 筛出质数并预处理 \(\varphi\) 、\(\mu\) 等数论函数。 对于每个数 \(i\) 有如下操作： 判断是否是质数 把与当前算出的所有质数 \(p\) 乘积设为不是质数 如果 \([i \equiv 0 \mod{p_i}]\) 退出循环 为什么 \ 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:37
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积性函数（乘性函数） 定义： 若函数 \(f(n)\) 满足 \(f(1) = 1\) ，且 \(f(xy) = f(x)f(y)\) 对任意互质的 \(x,y\in \mathbb{N}^*\) 都成立，则 \(f(n)\) 为积性函数。 若函数 \(f(n)\) 满足 \(f(1) = 1\) 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:37
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Lucas 定理 对于任意一个 $C_n^m \mod{p}$ 且 $p$ 为素数, 有 Lucas 定理 $$C_n^m\mod{p} =\prod\limits_{i=1}^{\max(\log_pn, \log_pm)} C_{m_i}^{n_i}$$ $n_i， m_i$ 表示p进制下 $m 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:36
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Euler 函数 Euler函数 $\phi(n)$ 表示不超过 $n$ 且与其互质的正整数个数。 由唯一分解定理 $n = \prod {p_i}^{k_i}$，其中 $p_i$ 是质数， 有： $$\varphi(n) = n\prod \limits_{i=1}^s (1-\frac{1}{p 阅读全文
posted @ 2025-07-11 23:36
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Dirichlet 卷积 设 $f,g$ 是数论函数，考虑数论函数 $h$ 满足 $$h(n) =\sum\limits_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})$$ 则称 $h$ 为 $f$ 和 $g$ 的 Dirichlet 卷积，记作 $h = f∗g$。 Dirichlet 卷积 的 阅读全文
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BSGS 大步小步 BSGS 用于求形同 $$a^x \equiv b \mod{p}$$ 的方程。 我们令 $x = k \lfloor\sqrt{p}\rfloor + c$。 则有 $$x^{k \lfloor\sqrt{p}\rfloor + c} \equiv b \mod{p}$$ 稍微 阅读全文
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