并查集

很多人看到这个名字 并查集就犯迷糊了。 因为他们无法理解 并查集 是什么意思。

其实并查集说白了也就两个功能， 合并和查询。

合并

假设我们有一个图， 图上有很多独立的点， 合并 就是把两个点连在一起。

查询

还是那个图， 查询 的意思就是看看他们是否连在一起。

并查集的不同之处

看到这里，有些人可能会说：这东西，用 vector 存一下与他连接的点然后遍历不就好了吗？

要什么并查集啊！

但是呢， 并查集与上述的方法有一种很重要的区别：

上面的看的是直接连接， 而并查集是间接连接， 也就是只要他们俩有路可达，就算连接。

让我们来打个比方：

小A 是 小B 的孩子， 小B 是 小C 的孩子。

那么 按照道理来说 小A 和 小C 还是亲人。

并查集怎么实现呢？

初始化

要想实现我们上面的理论，我们需要初始化这个东西：

1. fa 数组， 这个fa数组是用来存储祖先的， 用 \(fa_i\) 表示点 \(i\) 的祖先。在最开始时我们将每个点的祖先都设置成自己。

代码实现

void init(){
  for(int i = 0; i < maxn; i++){
    fa[i] = i;
  }
}

合并

我们先来实现合并， 既然我们要看他们是不是亲戚的话的话， 那么我们只需要找到他们的祖先，

如果他们的祖先相同的话，他们不就是亲戚了嘛！

那我们想要合并的话，就把他们的祖先合并在一起就好了。

但我们要怎么找到他们的祖先呢，我们只要从他们开始，一直往上找祖先，直到找到一个点，他的祖先是自己，那这个点

肯定就是最终的祖先了呗。

以下是代码：

递归式

int find(int x){
  if(fa[x] == x) return x; //如果这个人的祖先是他自己，那么说明他就是x的祖先
  return find(fa[x]); //一直往上寻找
}

循环式

int find(int x){
  while(fa[x]!=x){
    x = fa[x];//如果他的祖先不是自己的话就继续往上寻找
  }
  return x;
}

最终代码

void uni(int x, int y){
  fa[find(x)] = find(y); //将x的祖先的祖先设置为y的祖先，使他们的祖先相同（合并）。
}

查询

查询很简单，套用上面的函数，看一下他们的祖先是否相同不就行了。

int connect(int x, int y){
  return find(x) == find(y); //看下他们的祖先是否相同
}

来道例题！

代码咱都写出来了，不来道例题怎么行？看看这道 P2256 一中校运会之百米跑

看看描述，

假设一共有 \(N\)（\(2\leq N\leq 2\times 10^4\)）个参赛选手。（尼玛全校学生都没这么多吧）

老师会告诉你这 \(N\) 个选手的名字。

接着会告诉你 \(M\)（\(1\leq M\leq 10^6\)）句话，即告诉你学生 A 与学生 B 在同一个组里。

如果学生 A 与学生 B 在同一组里，学生 B 与学生 C 也在同一组里，就说明学生 A 与学生 C 在同一组。

然后老师会问你 \(K\)（\(1\leq K\leq 10^6\)）句话，即学生 X 和学生 Y 是否在同一组里。

若是则输出 Yes.​，否则输出 No.​。

乍一看！简简单单，就一模版嘛！可在乍一看！口意！！！！这咋是字符串啊！这咋玩啊？

其实简简单单，把 fa 数组改成一个 map 不就行了？

可是还有一个问题，怎么初始化呢，毕竟我们又不知道他们叫啥？直接在录入名字的时候初始化呗。

话不多说，代码为敬！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 2e4+10;
map<string, string>fa;
int n, m,k, cm=1, cw=1;

// 函数也要改成string
string find(string x){ 
    if(fa[x]==x) return x;  
    else return fa[x]=find(fa[x]);
}

void uin(string x, string y){
    fa[find(x)] = find(y);
}

bool connect(string x, string y){
    return find(x)==find(y);
}


int main(){
    cin>>n>>m;
    string s, s1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>s;
        fa[s]=s; // 边录入边初始化
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        cin>>s>>s1;
        if(find(s)!=find(s1)) fa[find(s)]=find(s1);
    }
    cin>>k;
    for(int i=0;i<k;i++){
        cin>>s>>s1;
        if(connect(s, s1))cout<<"Yes."<<endl;
        else cout<<"No."<<endl;
    }
}

一个小小的优化（bushi

在往上搜索寻找祖先时，我们发现如果搜的太久的话，可能会超时。我们需要把路径缩短，会减少时间，

我们可以把find​函数修改一下，把 return find(fa[x])​ 这一句修改成return fa[x] = find(fa[x])​

我们边往上搜索时，就把路过的点都直接指向最终的祖先，就可以大大缩短时间了。