Dirichlet 卷积

Dirichlet 卷积

设 $f,g$ 是数论函数，考虑数论函数 $h$ 满足

$$h(n) =\sum\limits_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})$$

则称 $h$ 为 $f$ 和 $g$ 的 Dirichlet 卷积，记作 $h = f∗g$。

Dirichlet 卷积 的性质

#1

单位函数 $\epsilon$ 为 Dirichlet 卷积 的单位元。

#2

若 $f$ 和 $g$ 为积性函数，则 $f*g$ 也为积性函数。

与 Dirichlet 卷积 的关系

定义幂函数

$\textrm {Id}_k(n) = n^k$ $\textrm {Id}_1 = \textrm {Id}$

#1

除数函数可写为：

$\sigma_k = 1 * \textrm {Id}_k$

#2

欧拉函数的性质可写为：

$\textrm {Id} = \varphi * 1$