Mobius 函数

Mobius 函数 \(\epsilon(n)\) 满足如下定义

\[\begin{cases} 1, \space \qquad \qquad n=1 \\ (-1)^s, \qquad \space n = p_1p_2\cdots p_s \\ 0, \qquad \qquad \space \texttt{otherwise.} \end{cases} \]

Mobius 函数的性质

#1 (最重要的性质)

\[\sum\limits_{d|n}\mu(d) = \epsilon(n) \]

即 \(\mu * 1 = \epsilon\)

Mobius 变换

设 \(f\) 是数论函数，定义函数 \(g\) 满足

\[\begin{equation} g(n) =\sum \limits_{d|n}f(d) \end{equation} \]

则称 \(g\) 是 \(f\) 的 Mobius 变换, \(f\) 是 \(g\) 的 Mobius 逆变换。

即 \(f * 1 = g\)

Mobius 反演定理

Mobius 反演定理 指出，\((1)\) 的充要条件为：

\[\begin{equation} f(n) = \sum\limits_{d|n}g(d)\mu(\frac{n}{d}) \end{equation} \]

证明可以使用 Dirichlet 卷积：

\[g = f ∗1 ⇔ f = f ∗ϵ = f ∗1∗\mu = g∗\mu \]

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