中国剩余定理 CRT

给定一个线性同余方程

\[\left\{ \begin{array}{lr} x \equiv a_1 \mod{p_1}\\ x \equiv a_2 \mod{p_2}\\ \vdots \\ x \equiv a_n \mod{p_n} \end{array} \right. \]

模数两两互质

我们需要找到 \(s_i\) 使得

\[\left\{ \begin{array}{lr} s_i \equiv 0 \mod{p_1}\\ s_i \equiv 0 \mod{p_2}\\ \vdots \\ s_i \equiv a_i \mod{p_i} \end{array} \right. \]

然后求 \(\sum \limits_{i=1}^n s_i\) 即是最终结果。

我们将 \(s_i\) 分解为 \(a_i P t\) 。

注意到，只要使得 \(t = \cfrac{\prod \limits_{k=1}^{n}p_k}{p_i}\) 即可保证 \(s_i\) mod 其他质数为 \(0\)。

带入原式，有

\[\begin{align*} a_iPt & \equiv a_i \\ Pt & \equiv 1 \end{align*} \pmod{p_i} \]

 $a_iPt \equiv a_i \mod{p_i}$

\(= Pt \equiv 1 \mod p_i\)

由于 \(t\) 已知，\(P\) 即为 \(t\) 的逆元。

最终答案即为

\[\sum \limits_{i=1}^n a_i\cfrac{\prod \limits_{k=1}^{n}p_k}{p_i}\cfrac{\prod \limits_{k=1}^{n}p_k}{p_i}^{-1} \]