Euler 筛

Euler 筛可以 \(O(n)\) 筛出质数并预处理 \(\varphi\) 、\(\mu\) 等数论函数。

对于每个数 \(i\) 有如下操作：

• 判断是否是质数
• 把与当前算出的所有质数 \(p\) 乘积设为不是质数
• 如果 \([i \equiv 0 \mod{p_i}]\) 退出循环

为什么 \([i \equiv 0 \mod{p_i}]\) 退出循环 ？

如果 \([i \equiv 0 \mod{p_i}]\) , 那么，说明这个数已经被之前的某个数筛过了，为避免重复，退出循环。

预处理数论函数

Euler 筛也可以预处理 \(\varphi\) ，\(\mu\) 等数论函数。

• \(\varphi\)
• • 若 \(i \mod{p} = 0\)，则 \(\varphi(ip) = \varphi(i)p\)
  • 若 \(i \mod{p} \neq 0\)，则 \(\varphi(ip) = \varphi(i)(p-1)\)
  • 若 \(i\) 为质数，则 \(\varphi(i) = i-1\)
• \(\mu\)
• • 若 \(i \mod{p} = 0\)，则 \(\mu(ip) = 0\)
  • 若 \(i \mod{p} \neq 0\)，则 \(\mu(ip) = -\mu(i)\)
  • 若 \(i\) 为质数，则 \(\mu(i) = -1\)

‍